266 Kapitel 11, § 1. 



{Ix + ^y) (fip — Xq), 

 sowie alle Elationen 



[lix — Xq) + ^{y — yj] [{x — x^)p + ('// — y;)ci\, 



bei denen 



ist. Demnach enthält die Gruppe nur solche Elationen, deren Linien- 

 elemente sämtlich als Geraden Strahlen vom Anfangspunkt aus haben. 

 Diese Linienelemente sind also wie in Figur 29 angeordnet. Das von 

 diesen Linienelementen erzeugte geometrische Gebilde 

 ist ein Strahlenbüschel vom Anfangspunkt aus, und 

 dies Büschel wird von allen Transformationen der 

 Gruppe in sich übergeführt. Dies deckt sich damit, 

 dass die Gruppe die Differentialgleichung 



xy—y = Q 

 invariant lässt, welche zu jedem Punkt (x, y) die 

 Richtung ■?/'== - der Geraden des Linienelemeutes an- 



giebt. 



Die bei diesem Beispiel gemachte Bemerkung lässt sich verall- 

 gemeinern. Da nämlich eine Elation durch ihr invariantes Punkt- 

 und Geradengebilde charakterisiert ist, so folgt aus Satz 9, § 2 des 

 3. Kap.: 



Satz 2 : Führt man auf eine Elation irgend eine projective Trans- 

 formation aus, so geht die Elation wieder in eine Elation und gleichmtig 

 ihr Linienelement in das der neuen über. 



Wenn nun auf eine projective Gruppe Gr irgend eine Transfor- 

 mation der Gruppe ausgeführt wird, so geht die Gruppe nach Satz 6, 

 § 4 des 6. Kap., in sich über, sodass ihre Elationen unter einander 

 vertauscht werden. Die Linienelemente dieser Elationen werden also 

 ebenfalls unter einander vertauscht, sie bilden eine invariante Schar. 

 diit^A^Ln- ^^^^ ^ • Eine projective Gruppe lässt die von den Linienelementen 

 ihrer Elationen gebildete Figur invariant. 



Wir knüpfen hieran noch Eines an: Wenn wir auf eine Elation 

 eine Dualität ausüben, so geht ihr invariantes Gebilde, bestehend aus 

 oo^ invarianten Punkten und cx)^ invarianten Geraden, in ein eben- 

 solches über, da die Dualität Punkt und Gerade vertauscht und ver- 

 einigte Punkte und Geraden in vereinigte Geraden und Punkte über- 

 führt. Also folgt mit Rücksicht auf Satz 14, § 4 des 10. Kap. : 



Satz 4 : Eine Dualität führt jede Elation wieder in eine Elation 

 und das Linienelement der einen in das der andern über. 



elemento 



der 

 Elationeu 



