Bestimmung aller mehr als viei'gliedrigen projectiven Gruppen. 267 



Von diesen Sätzen machen wir nun Gebrauch, um die projectiven 

 (T7, Gq, Gg zu bestimmen. Nach Satz 1 kann eine derartige Gruppe 

 Gr (r == 1, 6, 5) zunächst 00^ Elationen enthalten. Fassen wir diesen 

 Fall jetzt ins Auge. Entweder besitzen die Linienelemeute dieser Ela- 

 tionen 00^ verschiedene Geraden oder nur 00^. Im ersteren Fall sind 

 sie die Tangenten von 00^ Curven, oder alle Geraden gehen von den 

 Punkten einer Curve aus. Sehen wir jedoch vorerst von letzterer An- 

 nahme ab. Nach Satz 3 ist der Inbegriff jener 00^ Curven oder jener 

 00^ Geraden bei der Gruppe Gr invariant. 



Wenn aber eine Schar von 00^ Curven alle 00^ Transformationen 

 der Gr zulässt, so muss jede einzelne Curve nach Satz 3, § 1 des 

 10. Kap., mindestens oo''-^ projective Transformationen gestatten. Da 

 nun r > 4 ist, so gestattet jede dieser Curven mindestens 00* projective 

 Transformationen, insbesondere co^ infinitesimale. Nach Theorem 1, 

 §4 des 3. Kap., sind sie also Geraden. Demnach lie^jen die 00^ Linien- ^"'"'7,''"'*''' 



o r 1 O Punkt oder 



demente der Elationen unserer Gr auf 00^ Geraden. Diese Geraden be- i"variauto 



LllTYC. 



sitzen als Umhüllungsfigur eiue Curve oder gehen sämtlich durch einen 

 Punkt. Offenbar muss diese Curve oder dieser Punkt ebenfalls bei der 

 Gr invariant sein. Die Gr enthält mindestens 00* infinitesimale Trans- 

 formationen. Nach Theorem 7 muss die Curve also eine Gerade sein. 

 Alsdann lässt sie andererseits höchstens oo^ und nicht mehr zu. Ein 

 Punkt ferner bleibt auch bei höchstens 00^ infinitesimalen projectiven 

 Transformationen in Ruhe. 



In dem bisher ausgeschlossenen Falle, dass die 00^ Geraden der 

 Linienelemente von den Punkten einer Curve ausgehen, ist diese Curve 

 bei der Gr invariant und nach Theorem 7 eine Gerade, die überhaupt 

 00^ infinitesimale projective Transformationen zulässt. 



Demnach kommen alle drei Fälle bei höchstens sechsgliedrigen 

 Gruppen in betracht, und wir können sagen : 



Satz 5 : Enthält eine mehr als vie^-gliedrige projective Gruppe 00^ 

 Elationen, so ist sie fünf- oder sechsgliedrig und lässt mindestens einen 

 Punkt oder eine Gerade in Ruhe. 



Nach Satz 1 folgt also insbesondere: sioif^giie- 



Satz 6 : Es giebt keine siebengliedrige projective Gruppe der Ebene. '^Grop^e"''' 



Jede Gq mit 00^ Elationen lässt nach Satz 5 einen Punkt oderBostimmunj 

 eine Gerade in Ruhe. Nehmen wir zunächst an, sie besitze eine in- giiodrigeu 



r^ 1 1 • 1 Gruppen. 



Variante Gerade, so können wir diese durch Ausführung einer passen- 

 den projectiven Transformation in die unendlich ferne Gerade über- 

 führen. Alsdann geht die Gq notwendig nach § 1 des 4. Kap. in die 

 allgemeine lineare Gruppe über: 



