268 Kapitel 11, § 1. 



p q xp yp xq yq 



Offenbar enthält diese wirklicli oo^ Elationen, nämlich diese: 

 {Xx-\- iiy-\r v){^p — Xq). 



Auch weiss man, dass diese Gruppe keinen Punkt in Ruhe lässt. 



Eine G^ mit oo^ Elationen, die einen Punkt in Ruhe lässt, geht 

 dadurch, dass man auf sie eine Dualität ^ ausführt, in eine solche 

 über, die eine Gerade in Ruhe lässt, nach Satz 14, § 4 des 10 Kap. 

 Letztere Gruppe aber geht durch eine passende projective Transfor- 

 mation T in den soeben angegebenen Typus über. Nach Satz 10, § 4 

 des 10. Kap., kanu daher jede G^ mit oo^ Elationen durch Ausführung 

 einer passenden projectiven Transformation oder eiaer passenden Dua- 

 lität auf die allgemeine lineare Gruppe zurückgeführt werden. Satz 4 

 steht hiermit in Einklang: Alle diese G^ enthalten oo'^ Elationen. 



Eine Gq mit oo^ Elationen wird nach Satz 3 den Punktort ihrer 

 Linienelemente invariant lassen. Ist er eine Curve, so wird diese 

 Curve eine Gerade sein nach Theorem 7, § 4 des 3. Kap. Aber eine 

 Gq mit invarianter Geraden enthält ja oo^ Elationen. Ist jener Punkt- 

 ort nur ein Punkt, so erhalten wir eine Gq, welche einen Punkt in 

 Ruhe lässt. Eine solche aber enthält auch oo^ Elationen. Also: 



Satz 7: Jede secJisgliedrige projective Gruppe der Ebene lässt einen 

 PunJct oder eine Gerade invariant; sie besteht aus allen projectiven Trans- 

 formationen, die einen Punlct oder aber eine Gerade in BuJie lassen. Die 

 Gruppen der einen Art gehen in die der anderen vermöge passender Dua- 

 litäten über. Jede sechsgliedrige projective Gruppe ist vermöge einer ge- 

 eigneten projectiven Transformation oder Dualität in. die allgemeine lineare 



Gruppe 



p q xp yp xq yq 



überführbar. 



Es ist unmittelbar klar, dass diese G^g nicht in eine dazu dua- 

 listische vermöge einer projectiven Transformation verwandelt werden 

 kann, da sie eine Gerade, jede dualistische aber einen Punkt in Ruhe 

 lässt. Nach § 4 des vorigen Kapitels können wir für die zum obigen 

 Typus dualistischen G^ — wenn wir von der in jenem Paragraphen zum 

 Schluss gegebenen Tabelle Gebrauch machen — den Typus angeben: 



xp yp xq yq x^p -\- xyq xyp -\- y^q 



Es ist dies die grösste projective Gruppe, welche den Anfangspunkt 

 in Ruhe lässt. 



