Bestimmung aller mehr als viergliedrigen projectiven Gruppen. 269 



Eine projective G^, die oo''^ Elationen enthält, lässt nach Satz 5^'°^'^^^™{['^"°8 

 mindestens einen Punkt oder eine Gerade in Ruhe. Eine pro- Kiiedrigou 

 jective G^ kann aber nach Satz 1 auch oo^ oder einige Elationen 

 enthalten. Enthält sie gerade oo^ Elationen, so ist der Punktort 

 ihrer Linienelemente nach Satz 3 invariant, also nach dem öfters 

 citierten Theorem 7 eine Gerade oder nur ein Punkt. Enthält die Gr, 

 nur einige Elationen, so sind die Linienelemente derselben einzeln in- 

 variant. Sie lässt also auch dann Punkt und Gerade in Ruhe. Eine 

 projective G^ lässt folglich sicher wenigstens einen Punkt oder eine 

 Gerade in Ruhe. Wir werden sehen, dass der Fall, dass die G^ nur 

 eine discrete Anzahl von Elationen enthält, in der That gar nicht 

 vorkommt*). 



Kennt man alle projectiven (rg, die eine Gerade in Ruhe lassen, 

 so kennt man auch alle, die einen Punkt in Ruhe lassen, denn die 

 einen gehen aus den anderen durch Ausübung einer Dualität hervor. 

 Wir werden daher unser Augenmerk nur darauf richten, alle pro- 

 jectiven G^ zu finden, die eine Gerade invariant lassen. Natürlich 

 lässt sich diese Gerade durch eine geeignete projective Variabein- 

 änderung in die unendlich ferne Gerade überführen. Dann aber be- 

 steht die Gruppe nach § 1 des 4. Kap. aus linearen Transformationen. 

 Eine infinitesimale lineare Transformation 



üf^ap-\-hq-\- cxp -\- dyp -j- exq -f- gyq 



vertauscht nun die Punkte der invarianten unendlich fernen Geraden 

 ebenso unter , einander, wie die zugehörige sogenannte verkürzte in- 

 finitesimale Transformation 



üf=cxp-\- dyp-\-exq-\- gyq, 



da das Increment, das y bei üf erfährt, von a und h frei ist und 

 andererseits y als Coordinate der unendlich fernen Punkte — vgl. § 3 

 des 3. Kap. — benutzt werden darf. 



Wenn wir nun in unserer G^^, die die unabhängigen infinitesi- 

 malen Transformationen U^f. . . Ur,f enthalte, alle Uf in dieser Weise 

 verkürzen, so erzeugen die entstehenden U^f... ü^f wieder eine Gruppe, ^orup^e" 



*) Es ist übrigens von vornherein klar, dass eine Gr^, die mehr als eine 

 Elation, aber eine discrete Anzahl Elationen enthält, nicht vorhanden ist. Denn 

 die Linienelemente dieser Elationen würden in ihren Punkten sowie in den Schnitt- 

 punkten ihrer Geraden eine discrete Anzahl von Punkten geben, die höchstens bei 

 einer infinitesimalen projectiven Transformation in Ruhe bleiben. Dass auch pro- 

 jective G^ mit nur einer Elation unmöglich sind, wird die folgende Überlegung 

 zeigen. 



