270 Kapitel 11, § 1. 



Denn offenbar hängen in den (UiUi) die Coefficienten von xp, yp, 

 xq, yq nicht von den a und h ab. Mit 



iUiU,)=^scasUsf 



1 

 ist daher auch" 



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{ü,Uk)=^CiuUsf. 



Hieraus aber folgt nach dem Hauptsatze die Richtigkeit der 'Behaup- 

 tung ohne weiteres. Wir sagen daher: 



Satz 8 : Eine lineare Gruppe transformiert die PunJcte der unend- 

 lich fernen Geraden genau so wie die eugehörige verkürzte lineare homo- 

 gene Gruppe. 



Wir haben nun diese linearen homogenen Gruppen sämtlich durch 

 lineare Transformationen, die ja Translationen in Translationen ver- 

 wandeln, auf gewisse typische Formen in § 4 des 5. Kap. zurückgeführt 

 und können von diesen Typen Gebrauch machen. Dabei ist jedoch zu 

 beachten, dass die verkürzte Gruppe offenbar viergliedrig ist, wenn die 

 Gr, gerade eine infinitesimale Translation, und nur dreigliedrig, wenn 

 sie alle infinitesimalen Translationen enthält. Der Fall, dass G^, keine 

 infinitesimalen Translationen enthielte, ist unmöglich, da es ausser 

 ihnen nur vier von einander unabhängige lineare homogene Transfor- 

 mationen giebt. Die verkürzte lineare homogene Gruppe kann also nach 

 Theorem 16, § 4 des 5. Kap., in einer der drei Formen angenommen 

 werden : 



xp yp xq yq, 



xq xp — yq yp, 



xp xq yq. 



Im ersten Fall wird die gesuchte G^, zunächst die Form haben 

 müssen: 



^P + (iq, ^p + ■-, yp + ■■, ^2 + • • , yq-\ . 



Hierin bedeuten die Punkte solche Glieder, die nur Translationen p, q 

 mit irgend welchen Coefficienten enthalten. Nun aber kommt: 



(Xp -i- {iq, xp-\ ) = Xp, 



{Xp + iiq; yq-\ ) = ^g, 



d. h. die Gr, enthält Xp und ^q, da Klammeroperation zwischen den 

 infinitesimalen Transformationen der Gruppe nach dem Hauptsatze 

 immer nur wieder zu Transformationen der Gruppe führen kann. Da 

 nun G^ nur eine Translation enthält, so ist also X oder ^ gleich Null. 

 Sagen wir: G^ enthält p und nicht q. Alsdann ist 



