Bestimmung aller mehr als viergliedrigen projectiven Gruppen. 271 



(p, xq-^ ■■)^q. 



Dies giebt einen Widerspruch. Es ist also keine G^ von dieser Art 

 vorhanden. 



Im zweiten Fall hat die Gr^ zunächst die Form: 



P, a, xg. + --, xp — yq-\--', yp+ ■-, 

 wo wieder die angedeuteten Glieder die Form Const. p + Const. q 

 haben. Die G^ enthält alsdann auch xq, xp — yq,.yp selbst, da sie 

 linear aus den vorstehenden abgeleitet werden können. Also ergiebt 

 sich der Typus: 



p q xq xp — yq yp 



Im dritten Fall endlich kommt analog der Typus: 



p q xp xq yq 



Es haben sich also zwei projective G^ ergeben, welche eine Ge- 

 rade in Ruhe lassen. Dass dieselben durch projective Transformation 

 nicht in einander überführbar sind, ist leicht einzusehen. Denn die 

 erstere Gruppe lässt keinen Punkt, weder im Endlichen noch im Un- 

 endlichfernen, in Ruhe, während die zweite einen Punkt, nämlich den 

 unendlich fernen Punkt der i/-Axe, invariant lässt. 



Die erste Gruppe lässt sich also charakterisieren als der Typus 

 der fünfgliedrigen projectiven Gruppen, welche nur eine Gerade und 

 keinen Punkt, die zweite als der Typus derjenigen, welche eine Ge- 

 rade und einen Punkt auf ihr, also ein Linienelement, in Ruhe lassen. 



Die G^, welche einen Punkt in Ruhe lassen, ergeben sich durch 

 Dualität aus den gefundenen. Die aus der zweiten Gruppe dadurch 

 hervorgehenden Gruppen lassen wie diese ein Linienelement in Ruhe, 

 sind also auch direct durch projective Transformation aus ihr ableit- 

 bar. Dagegen kann man die zur ersten G^ dualistischen nicht durch 

 projective Transformation aus ihr erhalten, da ihr invariantes Gebilde 

 durch Dualität in ein andersartiges übergeht, nämlich die Gerade in 

 einen Punkt verwandelt wird. Als Typus der zur ersten Gr, dualisti- 

 schen kann man nach der Anleitung des § 4 des vorigen Kapitels 

 diesen wählen : 



xq xp — yq yp x^p -f xyq xyp + y^q 



Es ist dies eine projective G^, welche nur den Anfangspunkt und 

 sonst keinen Punkt und keine Gerade invariant lässt. 



Man sieht ein, dass jede projective G^ od^ oder oo^ Elationen 



