272 Kapitel 11, §§ 1, 2. 



ent/liält. Man braucht zu dem Ende nur alle Elationen der G^ nach 

 der früher angegebenen Methode zu berechnen. Die Linieneleraente 

 der oo^ Elationen des ersten Typus sind sämtliche Linienelemente, 

 deren Punkte unendlich fern liegen, die der cx)^ Elationen des zweiten 

 Typus sämtliche Linienelemente, deren Punkt der unendlich ferne der 

 ^-Axe ist, sowie sämtliche Linienelemente, deren Gerade die unend- 

 lich ferne ist. 



Es gieU also heine p-ojective Gr, mit einer discreten Anzdiil von 



Elationen. 

 Zusammen- \Yjj, fassen uuscrc Ergebnisse zusammen in dem 



Stellung. ^ . • _t • /^ 



Theorem 24: Jede mehr als viergliedrtge projective (xruppe 



der Ebene mit paartveis inverscn Transformationen ist durch 



projective Transformation in eine der folgenden üherführbar : 



p q xp yp xq yq x^p + xyq xyp + y'^q, 



p q xp yp xq yq, 



xp yp xq yq x^p + xyq xyp + t/q, 



p q xq xp — yq yp, 



xq xp — yq yp x^p + xyq xyp + y^q, 



p q xp xq yq. 



Keine dieser Gruppen ist überzählig. Wohl aber lässt sich 

 durch Dualität die stveite in die dritte und die vierte in die 

 fünfte überführen. 



§ 2. Vorbemerkungen über die übrigen projectiven Gruppen. 



Für alle weniger als fünfgliedrigen projectiven Gruppen lassen 

 sich einige allgemeine Sätze vorausschicken, welche die Bestimmung 

 dieser Gruppen erleichtern werden. Ein Teil dieser allgemeinen Sätze 

 lässt sich übrigens, wie wir später sehen werden, auch auf nicht -pro- 

 jective Gruppen ausdehnen. 



Ist eine projective Gr intransitiv (§ 1 des 8. Kap.), so lässt sie 

 oo^ einzelne Curven in Ruhe, also umsomehr eine Schar von oo^ Curven. 



Wir werden zeigen, dass auch jede transitive projective Gruppe, 

 sobald sie weniger als fünfgliedrig ist, eine Schar von oo^ Curven — 

 allerdings nicht bestehend aus oo^ einzeln invarianten Curven — m 

 sich überführt. 



Nachweis 

 der In- 



^Ser Wählen wir nämlich aus allen Transformationen einer solchen Gr 



^sch^^' gerade diejenigen aus, welche einen beliebig angenommenen Punkt p^ 



