Vorbemerkungen über die übrigen projectiven Gruppen. 273 



von allgemeiner Lage in Ruhe lassen, so ergeben sich insgesamt bei 

 unserer r-gliedrigen Gruppe gerade oo'—^ Transformationen — denn 

 wenn es mehr wären, so wäre die Gruppe intransitiv. Diese oo'— ^ 

 Transformationen bilden eine (r — 2)-gliedrige Untergruppe Gr-2. 

 Nach § 2 des 10. Kap. kann sie auch aufgefasst werden als eine 

 Gruppe, welche Geraden in Geraden verwandelt, indem man sie in 

 Liniencoordinaten u, v schreibt. Insbesondere werden die Geraden durch 

 den Punkt p^ unter sich vertauscht, da p^ in Ruhe bleibt. Ziehen 

 wir nur diese Geraden in betracht, so können wir sagen, dass sie 

 durch eine gewisse höchstens (r — 2)-gliedrige projective Gruppe unter 

 einander vertauscht werden. Diese braucht in u, v nicht gerade {r—2)- 

 (Tliedrig zu sein, weil die 00'"-=' infinitesimalen Transformationen der 

 Gr-2, geschrieben in u, v, für alle Geraden durch den Punkt 2>o unter 

 Umständen teilweis zusammenfallen können. 



Wir können diesen Gedankengang auch so darstellen: Es seien 

 UJ. . TJr-^f die infinitesimalen Transformationen der Gr, welche einen 

 bestimmten Punkt p^^, etwa den Anfangspunkt selbst, invariant lassen, 

 und also sei für die von ihnen gebildete Gruppe Gr—2 nach dem Haupt- 

 satz allgemein : 

 (2) {UiU,) = 2JCiuUsf. 



Die Uf hohen als projective Transformationen, die den Punkt x==y==-0 

 in Ruhe lassen, die Form: 



^ Ukf= (a,x + hy)p 4- («/a; -f h'y)q + 



l + (hx + ^ky) {xp + yg), 



setzen sich also aus einer homogenen linearen und einer Transforma- 

 tion mit Gliedern zweiten Grades in x, y zusammen. Indem wir diese 

 beiden Teile mit L^f und Z^f bezeichnen, setzen wir also : 



U,f=Uf-\-Z,f. 

 Dann ist nach (2): 



(L^L,) + (LiZ,) + {L,Zi) + (Z.Z,) = UcasiLsf-\- Z./). 



Die Klammerausdrücke (LiLk) sind homogen und linear in a;, y, die 

 übrigen quadratisch. Daher ist auch 



{LiLk) ^Zca,L,f. 



Die Lif bilden also für sich eine lineare homogene Gruppe. Betrachten 

 wir nun die durch den Anfangspunkt gehenden Geraden, die durch 



die Richtunssgrösse v = ^ bestimmt werden. Das Increment, das 



y bei Ukf erfährt, ist, wie man leicht einsieht, nur von Lkf abhängig, 

 sobald in ihm x = y == gesetzt wird. Also geben die Lkf solche 



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