274 Kapitel 11, § 2. 



TraDsformationen der Punkte der Ebene, welche die Geraden durch 

 den Anfangspunkt gerade so unter einander vertauschen wie die Ukf 

 selbst. Die Lkf bilden für sich eine lineare homogene und zwar höch- 

 stens auch (r — 2)-gliedrige Gruppe. 



Ist nun r < b, so ist diese Gruppe höchstens zweigliedrig und 

 lässt demnach mindestens eine Gerade durch den Anfangspunkt in- 

 variant. (Vgl. Theorem 17, § 4 des 5. Kap.) 



Hätten wir an Stelle des Anfangspunktes irgend einen Punkt p 

 fest halten wollen, so hätten wir ihn nur zuvörderst durch eine 

 Translation in den Anfangspunkt zu überführen brauchen, um alsdann 

 dieselbe Betrachtung anstellen zu können. 



Also ergiebt sich : 



Satz 9 : Alle diejenigen Transformationen einer höchstens vier- 

 gliedrigen transitiven projectiven Gruppe der Ehene, die einen PunJä p^ 

 von allgemeiner Lage in Ruhe lassen, lassen ebenfalls wenigstens eine 

 durch Pq gehende Gerade g^ in Buhe. Für intransitive projective Gruppen 

 ist dieser Satz selbstverständlich. 



Da die Gr transitiv ist, so giebt es nun sicher Transformationen 

 T in ihr, die p^ in irgend einen anderen bestimmt gewählten Punkt 

 p allgemeiner Lage überführen. Sie führen dann sämtlich die Gerade 

 gQ in ein und dieselbe Gerade g durch p über. 



Um dies zu beweisen, seien die Transformationen der Gruppe, 

 die p^ invariant lassen, mit S^, die aber, die p invariant lassen, mit 

 S bezeichnet. Alsdann ist stets: 



W>^o = (Po), {P)S={P) 

 i9o)So = {9o), (p,)T=(p). 



Eiue bestimmte T, etwa T^, führe g^ in die Gerade g durch p über, 

 sodass 



ist. Ferner kann in 



(p)S=(}j) 



der Punkt (p) durch (Po)^o ersetzt werden, sodass kommt: 



(Po)T,S=(p,)T, 

 oder 



{Po)ToST,-^ = (p^). 

 Also gehört T^ST^-^ zu den S^, die p^ invariant lassen: 



TqSTq-^ = Sq, 

 sodass 



