Vorbemerkungen über die übrigen projectiven Gruppen. 275 



S = T- ^ Sq Tq 

 wird. Folglich ist nun ^ 



{ü)S = {9)T,-'S,T,. 

 Da jedoch 



ist, so liefert dies : 



{9)S = {9,)S,T, = {g,)T, = {g), 



d. h. jede Transformation S der Gr, die p in Ruhe lässt, lässt auch 

 g in Ruhe. Ferner folgt aus 



auch 



{p)T-' = {p)T-\ 



also 



{p) = ip)To-'T. 



Somit gehört T^f^T zu den 5, die p und, wie soeben bewiesen, auch 

 g invariant lassen : 



Hieraus folgt: 



oder, da {g)T, = (g), {g)S = {g) ist: 



{9)T={0), 

 was zu beweisen war. 



Satz 10 : Führen alle Transformationen einer projectiven Gruppe, 

 die einen Punkt allgemeiner Lage 2\ ^^^ ^^^^ lassen, mgleicli eine Gerade 

 g^ durch p^ in sich Ober, so führen alle Transformationen der Gruppe, 

 die Pq nach einer Stelle p bringen, auch die Gerade g^ in ein und dieselbe 

 Gerade g über, die alsdann bei allen p invariant lassenden Transforma- 

 tionen der Gruppe ebenfalls in sich transformiert wird. 



Es ist natürlich denkbar, dass mit 2^0 ^^^^^ mehr als eine Gerade 

 g^ durch ihn invariant bleibt. Wir wählen in diesem Falle eine unter 

 den Geraden g^ aus und haben alsdann vermöge des Satzes auch jedem 

 Punkt p der Ebene — da die Gr transitiv ist, also p^^ nach jeder 

 Stelle p überführt — eine Gerade g durch ihn zugeordnet. Wir sagen: 

 Mit jedem PunJd p der Ebene ist eine durch ihn gehende Gerade g «w- ^^ J^^^^^^^; 

 variant verknüpft. «^Geraa 



Durch diese allen Punkten zugeordneten Richtungen werden 00^ 

 Curven definiert, die Curven nämlich, welche in ihren Punkten p die 

 betreffenden Geraden g zu Tangenten haben und die also, wenn y' die 

 Tangentialneigung im Punkte {x, y) bezeichnet, durch eine gewisse 

 Differentialgleichung erster Ordnung 



f{^, y, y) = <^ 



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