276 Kapitel 11, §§ 2, 3. 



definiert sind. Jede Transformation der Gruppe Gr führt die Curven 

 dieser Schar in einander über, da sie zugeordnete Punkte und Geraden 

 in ebensolche verwandelt. Also sehen wir : 



Satz 11 : Jede höchstens viergliedrige projecüve Gruppe der Ebene 

 lässt eine Schar von oo^ Curven invariant. 



Offenbar gilt dies ja auch für jede intransitive projective Gruppe. 



Invariante Dicsc Curveuschar wird nun eine Umhüllungsfigur besitzen, sei 



(!urre oder o id 7 



Punkt, es eine Curve oder nur ein isolierter Punkt*). Jedenfalls muss die 

 Gruppe diese Figur in sich überführen. Also folgt: 



Satz 12 : Jede höchstens viergliedrige projective Gruppe der Ebene 

 lässt wenigstens eine Curve oder einen PtmJct in Buhe. 



Die eventuell also vorhandene invariante Curve gestattet r infini- 

 tesimale projective Transformationen und ist demnach nach Theorem 7, 

 § 4 des 3. Kap., im Fall r = 4 eine Gerade, im Fall r = 3 oder 2 

 eine Gerade oder ein Kegelschnitt. Im Fall r = 1 lässt die Gruppe 

 nach Theorem 5, § 1 des 3. Kap., mindestens einen Punkt und eine 

 Gerade in Ruhe. Zusammengefasst ergiebt sich also : 



Satz 13 : Jede höchstens viergliedrige projective Gruppe der Ebene 

 lässt mindestens einen PunJd oder eine Gerade oder einen Kegelschnitt in 

 Ruhe. Ist sie viergliedrig , so sind nur die beiden ersten Fälle möglich. 



In Verbindung mit den Ergebnissen des vorigen Paragraphen 

 liefert dieser Satz noch : 



Satz 14 : Jede projective Gruppe der Ebene — mit Ausnahme der 

 allgemeinen achtgliedrigen — lässt mindestens einen Punkt oder eine Ge- 

 rade oder einen Kegelschnitt in Buhe. 



*) Allerdings ist die Existenz einer Umhüllungscurve nur dann sicher, wenn 

 die Schar aus algebraischen Curven besteht. Wir schliessen exacter so : Eine 

 Curve der Schar geht bei den OC Transformationen der G^ in oo* Curven über, 

 sie gestattet daher nach Satz 3, § 1 des 10. Kap., r — 1 unabhängige infinitesi- 

 male projective Transformationen, also für r >■ 2 mindestens zwei, sodass dann 

 nach Theorem 7, § 4 des 3. Kap., die Curven der Schar Geraden oder Kegel- 

 schnitte, mithin wirklich algebraische Curven sind. Ist r = 2, so kann die G^ 

 in der Form U^f, U^f angenommen werden, dass {U^U^) = cUif ist, wie man 

 leicht sieht — vgl. „Dffgln. m. inf. Trf.", Satz 1, § 1 des 18. Kap. Alsdann gestattet 

 die Schar der Integralcurven von U^f = 0, d.i. die der Bahncurven von Z7j /", 

 alle infinitesimalen Transformationen c^U^f -\- c^TJ^f der Gruppe, da diese mit 

 f/i f combiniert Const. U^ f liefern. Vgl. „Dffgln. m. inf. Trf.", Theorem 9, § 2 

 des 6. Kap. Immer besitzt nun die Schar der Bahncurven von TJ^f eine ümhül- 

 lungsfigur, bestehend aus Punkten oder Geraden, siehe Satz 23, § 4 des 3. Kap. 

 Diese Figur bleibt also bei der Gruppe invariant. Der Fall r = 1 erledigt sich 

 ohne weiteres. 



