Bestimmung aller übrigen projectiven Gruppen der Ebene. 277 



§ 3. Bestimmung aller übrigen projectiven Gruppen der Ebene. 



Wollen wir nun die 4-, 3- und 2-gliedrigen projectiven Gruppen 

 bestimmen, so bemerken wir: Wenn eine solche Gr einen Punkt m 

 Ruhe lässt, so lässt jede dazu dualistische Gruppe eine Gerade in 

 Ruhe. Kennt man also alle Gr, die eine Gerade in Ruhe lassen, so 

 kennt man auch alle, die einen Punkt invariant lassen. Wir suchen 

 also nur alle Gr (r = 4, 3, 2), die eine Gerade oder einen Kegel- 

 schnitt invariant lassen. 



Der Kegelschnitt kommt, wie wir sahen, nur bei den G^ in be-i-a^an^« 

 tracht. Er kann durch eine geeignete projective Variabeinänderung 

 nach Satz 14, § 4 des 3. Kap., auf die Form 



a;2 _ 2«/ = 



gebracht werden und gestattet alsdann, wie wir schon in § 4 des 

 4. Kap. bewiesen, die intinitesimalen Transformationen: 



P 



-\-xq xp-\- 2yq {x^ — y)p + xyq 



Hiermit ist der Typus aller G^ bestimmt, die einen Kegelschnitt in 

 sich überführen. 



Wir fügen die wichtige Bemerkung hinzu: Diese G^ transformiert^ur^ü^ruppe 

 die Punkte des Kegelschnittes unter einander, und wir können x als «chnitts. 

 einziges Bestimmungsstack dieser Punkte betrachten, sodass die in- 

 finitesimalen Transformationen sich wegen 2y = x^ auf _p, xp, x'^p 

 reducieren. Es ist dies die allgemeine projective Gruppe der einfachen 

 Mannigfaltigkeit x. Aus Theorem 15, § 2 des 5. Kap., folgt also, 

 dass jede höchstens zweigliedrige projective Gruppe, die einen Kegel- 

 schnitt invariant lässt, auf ihm auch einen Punkt, daher auch die 

 Tangente dieses Punktes in Ruhe lässt, während der obige drei- 

 gliedrige Typus selbst weder einen Punkt noch eine Gerade der 

 Ebene invariant lässt. Offenbar ist obiger Typus ^ch zu sich selbst 

 dualistisch, nach Satz 8, § 3 des 10. Kap. 



Nun handelt es sich nur noch um die Bestimmung der projectiven ^^^J^^/^^f 

 G^4; G'i, G-2} die eine Gerade in sich überführen. Diese Gerade kann 

 ins Unendliche verlegt werden, sodass die gesuchten Gruppen nach 

 § 1 des 4. Kap. linear, also Untergruppen der allgemeinen linearen 

 Gruppen werden. Verkürzen wir dieselben, wie es in § 1 bei der 

 Bestimmung der G^ geschah, sodass wir nur noch lineare homogene 

 Transformationen vor uns haben, so bilden diese für sich eine Gruppe, 

 vgl. Satz 8 des § 1. Die Typen dieser Gruppen sind aber in § 4 



