278 Kapitel 11, § b. 



des 5. Kap. bestimmt worden. Es sind nach Theorem 16 jenes Para- 

 graphen diese: 



A) xp yp x(i yq, 



ß) xq xp — yq yp, 



C) xq yq xp, 



D) xp yq, 



E) xq axp -j- hyq, 



F) xq -j- a{xp + yq), 



G) axp -f- hyq. 



Um unsere Gr zu erhalten, haben wir nun zu diesen Transformationen 

 jedesmal additive Glieder Const. p + Const. q sowie 2, 1 oder keine 

 infinitesimale Translation Ap -\- fiq derart hinzuzufügen, dass sich 

 wieder eine Gruppe ergiebt. Die Hinzufügung von Const. p + Const. q 

 können wir ohne Schaden der Allgemeinheit bei xp + yq stets unter- 

 lassen, da 



^P + yq + ap + hq 



durch Einführung der neuen Veränderlichen x-\-a, y + h in xp-j-yq 

 übergeht. 



Ferner bemerken wir, dass aus dem Vorhandensein von xp-j-yq 

 in der Gruppe folgender Schluss gezogen werden kann: Enthält die 

 Gruppe etwa 



ap + ßq + {yx + dy)p + (sx + t^J)q, 



so lehrt die Klammeroperation mit xp + yq, die ja dann nach dem 

 Hauptsatze eine Transformation der Gruppe giebt, dass die Gruppe 

 ccp -{- ßq enthält. Die Gruppe enthält also dann einzeln: 



«p-i- ß2> (y^ + ^y)p + (sx + ^y)q. 

 Diese Bemerkung werden wir öfters verwerten. 



fneällglu Bestimmen wir zunächst die viergliedrigen Gruppen G^, indem wir 



öruppou. die Fälle A) bis Q) einzeln behandeln. 

 A) Hier haben wir: 

 xq-\-ap-\- ßq yp ^ yp J^ dq xq + sp -\- t^q yq -{- rjp -}- »q. 



Jede Klammeroperation soll nach dem Hauptsatze eine infinitesimale 

 Transformation ergeben, die sich aus diesen vieren linear ableiten 

 lässt. Da es so eingerichtet werden kann, dass die Gruppe xp -f- yq 

 enthält, so folgt, dass xp, xq, yp, yq sämtlich ohne additive Glieder 

 auftreten, weil sonst die Gruppe nach unserer allgemeinen Bemerkung 

 noch Translationen enthielte, also mehr als viergliedrig wäre. Somit 

 erhalten wir den Typus: 



I 



