Bestimmung aller übrigen projectiven Gruppen der Ebene. 279 



xp xq yp yq 



die allgeineiue lineare homogene Gruppe. Man kann sie definieren 

 als den Typus aller projectiven Gruppen, welche nur eine Gerade — 

 hier die unendlich ferne — und nur einen nicht auf der Geraden 

 liegenden Punkt — hier den Anfangspunkt — in Ruhe lassen. Hieraus 

 folgt sofort, dass sie in jede mit ihr dualistische Gruppe durch pro- 

 jective Transformation überführbar ist, 



B) Hier kommt, da die Gruppe viergliedrig sein soll, eine Trans- 

 lation selbständig vor: 



xq-{- -■, xp — yq-\- •■, yp + ■', ^P -^ M- 

 Die nur angedeuteten Glieder sollen hier, wie in Folgendem, von der 

 Form Const. p + Const. q sein. Aus 



{xq-j---, Xp -\r iiq) "= — ^^ 

 folgt, dass, da nur eine Translation Xp + }iq auftritt, X verschwindet. 

 Ebenso folgt ^ = 0, sodass sich also keine viergliedrige Gruppe ergiebt. 



C) Hier folgt zunächst, da xp + yq vorkommt, aus der voraus- 

 geschickten Bemerkung, dass die Gruppe die Form hat: 



xq yq xp Xp -f (iq. 

 Klammeroperation lehrt dann, dass X = ist, sodass die Gruppe her- 



vorgeht 



1) xq yq xp q. 



D) und E) Hier kommen unmittelbar diese Gruppen: 



2) xp yq p q, 



3) xq axp + hyq p q, 

 während F) und G) keine viergliedrige Gruppe liefern. 



Es fragt sich, ob keiner der Typen 1), 2), 3) überzählig ist. 

 Nur der erste lässt ausser der unendlich fernen Geraden noch eine 

 zweite Gerade, die ^/-Axe, in Ruhe. Er ist demnach ein selbständiger 

 Typus, den wir so schreiben können : 



q yq xq xp 



Er enthält alle projectiven Transformationen, welche zwei Geraden 

 und ihren Schnittpunkt in Ruhe lassen. Eine dualistische Gruppe 

 lässt daher zwei Punkte und ihre Gerade in Ruhe und ist ein beson- 

 derer Typus, der unter 2) oder 3) vorhanden sein muss. Es ist dies 

 in der That die Gruppe 2): 



q yq p xp 



