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Kapitel 11, § 3. 



Die Gruppe 3) lässt nur eine Gerade — die unendlich ferne — 

 und einen Punkt auf ihr — den Schnittpunkt mit der y-Axe — in- 

 variant und ist also ein neuer Typus, den wir so schreiben: 



p q xq axp-\-'byq 



Da in diesem Fall das invariante Gebilde zu sich selbst dualistisch 

 ist, so liegt die Vermutung nahe, dass jede hierzu dualistische Gruppe 

 auch durch projective Transformation erhalten werden kann. Das ist 

 aber bei allgemeiner Wahl des Verhältnisses a'.h nicht der Fall. Man 

 findet ohne Mühe, dass der vorstehende Typus durch projective Trans- 

 formation nur in solche Gruppen 



p q xq a^xp -\- \yq 



verwandelt werden kann, für die a^ : b^ = a : h ist. Demnach ist die 

 dualistische Gruppe: 



p q xq (b — a)xp -f- byq 



ein besonderer Typus. Nur für b = 2a oder & = ist der Typus zu 

 sich selbst dualistisch. Diese Gruppen sind also besonders zu be- 

 merken : 



p q xq xp-\- 2yq 



p q xp yq 



Niedrigen ^^^ kommcn nunmehr zur Berechnung der dreigliedrigen Gruppen 



Gruppen. Q^ f^ (jg^ Fällen A) bis G). 



A) liefert keine dreigliedrige Gruppe. 



B) giebt, wie die Klammerausdrücke sofort zeigen: 



xq xp — yq yp 



Diese Gruppe lässt auf der unendlich fernen Geraden keinen Punkt 

 und im Endlichen nur einen, den Anfangspunkt in Ruhe. Auch 

 kommt ausser der unendlich fernen Geraden keine invariante Gerade 

 vor. Offenbar ist die Gruppe nach der Tafel am Schluss von § 4 des \ 

 10. Kap. zu sich selbst dualistisch. ' 



C) Hier lehrt die vorausgeschickte allgemeine Bemerkung un- 

 mittelbar, dass die Gruppe lautet: 



I) xq yq xp. 



D) Die allgemeine Bemerkung giebt zunächst: 



xp yq Xp + ftg. 

 Klammeroperation zwischen xp — yq und Xp -f iiq giebt Xp — ^q, 



