Bestimmung aller übrigen projectiven Gruppen der Ebene. 281 



sodass A oder fi gleich Null ist, da nur eine Translation vorkommt. 

 Da alles in x, y symmetrisch ist, so können wir X = setzen. Dies 

 liefert : 



11) xp, yq, q. 



E) Hier haben wir zunächst : 



xq-\ , axp -\-byq-] , Ap -\- M, • 



und Klammeroperation zwischen der ersten und letzten Transformation 

 liefert A = 0. Nun ist die Gruppe etwa diese: 



xq + f«p axp + hyq -f- ßp q- 



Ist a^O, so kann, indem x -\- — als neues x gewählt wird, /3 = 

 gemacht werden, und dann giebt Combination der beiden ersten 



(6 — a)xq -\- aap. 

 Daher ist 



aa = (b — a)a. 



Ist 2a=|=&, so ist also a = 0, und es kommt; 



III) xq axp -f- hyq q. 



Ist jedoch h = 2a und « =j= 0, so bleibt 



xq -\- ocp xp -\- 2yq q. 



Wäre a == 0, so wäre diese 'Gruppe in III) enthalten. Daher setzen 

 wir a =j= und können leicht a = 1 machen, indem wir ein Vielfaches 

 von y als neues y benutzen. So kommt: 



lY) xq -{- p xp -\- 2yq q. 

 Wenn aber a = ist, so haben wir: 



xq -\- ap yq-\- ßp q 



und Combination der beiden ersten giebt a = 0. Alsdann lässt sich 

 ß = 1 machen, sobald es nicht Null ist, in welchem Falle eine in 

 III) enthaltene Gruppe hervorgehen würde. So kommt nur: 

 V) xq yq+p q. 



F) und G) liefern sofort: 



VI) xq + a{xp -f- yq) p q, 

 VII) axp -f- hyq p q. 



Wir fragen uns nun, ob unter den sieben Gruppen I) • VII) über- 

 zählige vorhanden sind. 



Die Gruppe I) und II) lassen zwei Geraden, ihren Schnittpunkt 

 und noch einen Punkt auf einer der Geraden in Ruhe. Diese Fierur 

 kommt bei den anderen Gruppen nicht vor und ist zu sich selbst 



