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Kapitel 11, § 3. 



dualistisch. Man sieht leicht, dass I) und II) durch projective Trans- 

 formation oder durch Dualität in einander überführbar sind. Somit 

 kommt nur ein zu sich selbst dualistischer Typus : 



q yq xp 



Die (»ruppe III) lässt, sobald a =|= ist, also a == 1 gesetzt 

 werd^i kann, zwei Geraden und ihren Schnittpunkt in Ruhe. Bei 

 allen anderen Gruppen ist das invariante Gebilde ein anderes. VII) be- 

 sitzt für a^h das dualistische, zwei Punkte und ihre Gerade. Dem- 

 nach sind III) und VII) zu einander dualistische Typen, die nicht 

 durch projective Transformation in einander verwandelt werden können. 

 In der That ergiebt sich zu 



q xq xp-^-ayq 



als dualistisch die Gruppe 



p q {a — 'i)xp -f- ayq 



Man sieht leicht ein, dass in diesem Typus die Constante a nicht 

 weiter specialisiert werden kann. Er lässt sich nur durch Einführung 

 passender neuer Variabein a in 1 — a verwandeln. 



Im Falle a = lässt III) alle Geraden durch einen Punkt in- 

 variant, während VII) für a = & das dualistische invariante Gebilde, 

 alle Punkte auf einer Geraden, besitzt. Die betreffenden invarianten 

 Gebilde treten sonst nicht auf. Wir erhalten also die beiden zu ein- 

 ander dualistischen Typen: 



q xq yq 



p q xp-\-yq 



Es bleiben nun noch die Gruppen IV), V) und VI) zu unter- 

 suchen. Bei allen diesen bleibt dasselbe Gebilde, eine Gerade und ein 

 Punkt auf ihr, invariant. Betrachten wir aber die Klammerausdrücke 

 ihrer infinitesimalen Transformationen. Sie sind bei IV): 



q xq-\- p, 



bei V) 



q xq, 



bei VI) für a + 0: 



p q 

 und für a = : 



Da nun offenbar zwei Gruppen, di'e zum selben Typus gehören, auch 

 bei der Klammeroperation gleichviele infinitesimale Transformationen 



