Bestimmung aller übrigen projectiven Gruppen der Ebene. 283 



reproduciereu, so folgt, dass VI) für a = ein besonderer zu sich 

 selbst dualistischer Typus ist: 



p q xq 



Die durch Klammeroperation erhaltenen infinitesimalen Transforma- 

 tionen bei IV), V) und VI) für a =^ bilden jedesmal eine zwei- 

 gliedrige Gruppe, deren erste und letzte transitiv und die zweite in- 

 transitiv ist. (Vgl. Satz 3, § 2 des 8. Kap.) Daher ist V) weder in IV) 

 noch in VI) projectiv überführbar. IV) aber ist zu sich selbst dua- 

 listisch, und V) und VI) sind zu einander dualistisch. Somit kommen, 

 wenn VI) noch etwas umgeformt wird, die Typen: 



q p -{- xq xp -\- 2yq 



q xq p -\- yq 



p <i xp + iy — ^h 



Jetzt erübrigt nur noch die Bestimmung der stveigliedrigen Gruppen 

 Gy, Wir betrachten wieder die einzelneu Fälle A) bis G), von denen 

 aber offenbar A), B), C) nichts liefern. 



D) giebt nach der oben gemachten allgemeinen Bemerkung sofort: 



a) xp yq. 



E) Hier haben wir: 



xq-\- ap -\- ßq axp -f- hyq -\- yp -{- dq, 

 und Klammeroperation liefert: 



(2a — h)a = 0, y = aß. 



Ausserdem ist zu beachten, dass durch Einführung eines neuen x die 

 Constante y, durch Einführung eines neuen y die Constante d gleich 

 Null gemacht werden kann, sobald a resp. h ^ ist. Demnach er- 

 geben sich die Fälle: 



Ist a =1= und & =|= und auch 2a — b ^0, so sind a, ß, y, ö 

 sämtlich Null: 



b) xq axp + byq. 



Ist a =j= ö und & =|= 0, aber b == 2 a, so ist ß = y = 8 = 0. Ist 

 dann auch a = 0, so ist dieser Fall unter b) enthalten. Ist a ^= 0, 

 so kann es ohne Mühe gleich Eins gemacht werden : 

 c) xq -\- p xp -\- 2yq. 



Ist a =j= 0, & = 0, so ist a = ß = y = und, da sonst wieder 

 eine unter b) enthaltene Form hervorginge, d 4= 0> also leicht a = 1, 

 d = 1 zu machen : 



Die zwüi- 



glieilrigou 

 Urui)pDn. 



