284 Kapitel 11, § 3. 



d) xq xp -\- q. 



Ist a = 0, b =^ 0, so ist a == y = d = 0, und es kommt, wenn 

 X ^ ß als neues x benutzt wird, eine unter b) enthaltene Form. 



F) Hier haben wir: 



xq + a(xp -\-yq)-\ , ^p + M- 



Klammeroperatiou lehrt, dass A = ist. Es kommt also : 



xq + d'i^P + yo) + «2^ d- 

 So lange a ^0 ist, können wir x -\ — als neues x und — ay als 

 neues y benutzen, sodass kommt: 



e) xp -{-(y — x)q q. 

 Wenn aber a = ist, so ist entweder a =j= 0, also : 



i) xq -\- p q 

 oder a = 0, d. h. : 



g) ^ü (l- 



G) Die Gruppe: 



axp + hyq + • • • , ^P ■\- i^l 



lässt sich, wenn a und & von Null verschieden sind, ohne weiteres 



auf die Form bringen: 



h) axp -\- hyq q. 



Ist etwa a^O und & = 0, so kann angenommen werden : 



xp -\- ccq Ajp -}" l^ü 



und Klammeroperation giebt Xp, d. h. A == oder (i = 0. A = 



würde eine in h) enthaltene Gruppe liefern. Also ist ft = und die 



Gruppe hat; da a = eine unter k) enthaltene Gruppe liefert, die Form: 



xp -{- q p 

 oder auch, wie Vertauschung von x und y lehrt: 



i) ya+p a- 



Schliesslich darf die Gruppe nicht vergessen werden, die aus lauter 

 Translationen besteht : 



Wir haben jetzt zu untersuchen, welche der Gruppen a) bis k) 

 überflüssig sind. 



Von diesen Gruppen hat nur eine als Klammerausdruck Null und 

 ist zugleich intransitiv, nämlich g). Diese bildet daher einen Typus 

 für sich: 



q xq . 



