Bestimmung aller übrigen projectiven Gruppen der Ebene. 285 



Diese Gruppe lässt nur die Geraden eines Büschels und den Mittel- 

 punkt des Büschels in Ruhe. Jede dualistische Gruppe muss daher 

 die Punkte einer Geraden in Ruhe lassen und als Klammerausdruck 

 Null haben. Es findet sich nur eine solche, nämlich die Gruppe k): 



P 2 



Dies ist also der Typus der zu jener dualistischen Gruppen. 



Von den übrigen Gruppen haben den Klammerausdruck Null 

 und sind transitiv die Gruppen a), b) für a = h, f) und h) für h = 0. 

 Von diesen hat nur a) ein invariantes Dreieck, sonst keine. Diese 

 invariante Figur ist zu sich selbst dualistisch. Die Gruppe: 



xp yq 



ist daher ein zu sich selbst dualistischer Typus. Die Gruppe f) lässt 

 nur eiue Gerade und auf ihr einen Punkt in Ruhe. Da dies weder 

 bei Gruppe b) für a = & noch bei Gruppe h) für 1) = eintritt, so 

 ist f) ein zu sich selbst dualistischer Typus: 



q p + xq 



Die Gruppe b) für a = 6 und h) für & = lassen beide je zwei Ge- 

 raden, ihren Schnittpunkt und je noch einen Punkt auf einer der Ge- 

 raden in Ruhe. Die eine geht in die andere über, wenn - und - als 



' X X 



neue Veränderliche eingeführt werden. Also ergiebt sich der zu sich 

 selbst dualistische Typus : 



q xp 



Jetzt haben wir unser Augenmerk nur noch auf die Gruppen 

 zu richten, bei denen der Klammerausdruck nicht Null ist. 



Es sind unter diesen transitiv die Gruppen b) für a =}= 0, Z> 4= «, 

 '■)' d); e), h) für a =}= 0, & =)= 0, i) und intransitiv die Gruppen b) für 

 a = und h) für a = 0. Die Gruppe c) lässt nur einen Punkt und 

 nur eine Gerade durch ihn invariant. Da alle anderen Gruppen mehr 

 als einen Punkt oder mehr als eine Gerade in Ruhe lassen, so stellt 

 c) einen zu sich selbst dualistischen Typus dar: 



p-^rxq xp-\- 2yq 



