Tafel aller projectiven Gruppen der Ebene. 



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Die beiden ersteren lassen alle Punkte einer Geraden und ausser- 

 dem noch eine Gerade, die beiden letzteren die dazu dualistische Figur 

 in Ruhe. Die erste Gruppe geht aus der zweiten, ebenso wie die 

 dritte aus der vierten durch 



hervor. Somit können 





q xp 4- yq 



<i y<i 



als die beiden letzten zu einander dualistischen Typen benutzt werden. 



Alle Typen von eingliedrigen projectiven Gruppen haben wir 

 schon in Theorem 6, § 3 des 3. Kap., aufgestellt. Es waren diese: gSa;>; 



Gruppen. 



xp + nyq 



P + y<i 



p -\- xq 



xp-j-yq 



Sie sind alle zu sich selbst dualistisch. 



§ 4. Tafel aller projectiven Gruppen der Ebene. 



Das Problem, alle projectiven Gruppen der Ebene mit paarweis 

 inversen Transformationen zu bestimmen*), ist hiermit erledigt, denn 

 jede solche Gruppe ist durch Ausführung einer projectiven Transfor- 

 mation aus einem der gefundenen Typen — und zwar stets aus nur 

 einem — abzuleiten. 



Wir stellen die Typen in einer Tafel zusammen. Dabei bedeutet 

 eine doppelte Umrahmung, dass die betreffende Gruppe durch projeetive 

 Transformation in die dualistische verwandelt werden kann, d. h. dass sie 

 zu sich selbst dualistisch ist. 



Im übrigen sind zu einander dualistisclie Gruppen jedesmal durch 

 eine Klammer verbunden. 



Das Zeichen ^ besagt, dass die Gruppen durch projeetive Trans- 

 formation in einander überführbar sind. Es ist dies da nötig, wo in 

 den Typen eine willkürliche Constante auftritt, von der je mehrere 

 in gewisser Beziehung stehende Werte Gruppen liefern, die in einander 

 transformiert werden können. 



Jedesmal ist angegeben, welche Punkte, Geraden und Curven die 



*; Lie veröfFentlichte seine schon im Jahre 1874 ausgeführte Bestimmung 

 aller projectiven Gruppen der Ebene im Jahre 1884 im Archiv for Mathematik 

 („Untersuchungen über Transformationsgruppen I"). Doch findet sich seine Be- 

 stimmung aller projectiven Gruppen der Geraden schon 1880 in den Mathem. 

 Annalen, Bd. 16. 



