Zusammenstellung aller Typen von projfectiven Gruppen der Ebene 291 



37) 



p-\-xq 



38) 

 39) 



xp + yq 



Ein invariantes Linienelement und oo^ Kegel- 

 schnitte, die dieses gemein haben. 



Invariante Funkte einer Geraden und invariante 

 Strahlen eines nicht auf der Geraden liegen- 

 den Büschels. 



Invariante Punhte einer Geraden und invariante 

 Strahlen eines auf der Geraden liegenden Büschels. 



Wir bemerken noch, dass bei der Bestimmung dieser Gruppen immer nur 

 die erste Hälfte des Hauptsatzes benutzt worden ist. Denn dass die gefundenen 

 Typen wirklich Gruppen darstellen, kann man immer auch durch Aufstellung 

 ihrer endlichen Gleichungen verificieren. Aber auch die erste Hälfte des Haupt^ 

 Satzes, der Satz also, dass die {U^U^ der Gruppe UJ. .U^f angehören und daher 

 (C/j. f/^,) =Z'c,.^,^Cr /■ ist, lässt sich durch verschiedene andere Methoden hei un- 

 serem Probleme ganz vermeiden. Zunächst kann man überall da, wo der Klammer- 

 ausdruck (UV) berechnet wurde, statt dessen neue Veränderliche in Uf vermöge 

 einer Transformation der eingliedrigen Gruppe Vf einführen. Der Leser kann 

 sich m jedem einzelnen Fall davon überzeugen, dass beides zum selben Ziele 

 führt. Ferner kann man z. B. auch bei Einführung der Begriffe „invariante Unter- 

 gruppe" und „Isomorphismus" die Klammeroperationen vollständig vermeiden. 



Der Hauptsatz ist somit bei der Bestimmung aller projectiven Gruppen der 

 Ebene noch zu umgehen, während er bei späteren Problemen der Gruppentheorie 

 unvermeidlich ist. Jedenfalls aber werden die Betrachtungen ^ei Benutzung des 

 Hauptsatzes kürzer, übersichtlicher und freier von Kunstgriffen. 



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