Abteilung III. 

 Die Gruppen der Ebene. 



Nachdem wir in der vorigen Abteilung die Typen der projectiven 

 Gruppen bestimmt haben, kommen wir jetzt zur Bestimmung aller 

 endlichen continuierlichen Gruppen der Ebene überhaupt und zur 

 Zurückführung dieser Gruppen auf bestimmte typische Formen. Wir 

 werden sehen, dass sich in der That eine Tafel aller dieser Gruppen 

 der Ebene aufstellen lässt. Dabei werden auch alle endlichen con- 

 tinuierlichen Gruppen der Geraden, d. i. einer Variabein bestimmt 

 werden. 



Kapitel 12. 



Der Hauptsatz der Oruppentheorie für die endliclieu (Truppen 



der Ebene. 



In den Kapiteln 6, 7 und 8 wurden die wichtigeren Sätze über 

 die endlichen continuierlichen Transformationsgruppen der Ebene auf- 

 stellt. Ein Satz jedoch und zwar gerade der Hauptsatz der Gruppen- 

 theorie wurde in Kapitel 9 nur für die projectiven Gruppen bewiesen. 

 Die Ausdehnung des Hauptsatzes auf beliebige endliche continuierliche 

 Gruppen der Ebene erfordert einige Vorbetrachtungen über Differential- 

 gleichungen, die infinitesimale Punkttransformationen gestatten. Wie 

 zu Beginn des 9. Kap. ist auch hier hervorzuheben, dass wir bei der 

 Entwickelung des Beweises an dieser Stelle kein Gewicht auf Kürze 

 legen. Später erst werden wir den Hauptsatz losgelöst von allen nicht 

 unbedingt nötigen Nebenbetrachtungen für Gruppen in beliebig vielen 

 Veränderlichen in möglichster Kürze ableiten. 



§ 1. Vorbereitende Bemerkungen. 



incremonte Liefft eine infinitesimale Punkttransformation 



der ^ 



der Ebene vor, so können wir ausser der Transformation der Coor- 



