Vorbereitendo Bemerkungen. 293 



(liiiateu X, y auch die Transformation der Differential quotienten 



7/'==--^ m" = '-^ u. s. w. ins Auge fassen. Wir haben schon an 

 -^ dx' ^ dx^ ^ 



mehreren Stellen die Berechnung des Incrementes von y durchgeführt 

 (vgl. z. B. Kap. 2, § 3). Es ist: 



Die Differentiation nach x ist hierbei als totale aufzufassen, es ist 



also dabei ^ = w' zu setzen. Man sieht dann, dass sich 8y' als ganze 

 dx ^ 



Function zweitm Grades von ij darstellt. Wird das Increment von y 



mit 'Y\^8t bezeichnet, also 



^ , s., dl] ,dl 



gesetzt, so kommt ferner: 



u. s. w. Man bemerkt, dass öy" in y", dy" in y" u. s. w. nur linear 



ist, denn ~ ist in w", ^ in ij" u. s. w. linear. 

 ' dx äx 



So ist allgemein für r > 1 dy^''^ eine ganze lineare Function von 

 y^'\ die ausserdem x, y, y ■ . y^'-^^ enthält, dy' dagegen ist eine ganze 

 quadratische Function von y. Indem man die berechneten Incremente 

 von y, tj" . . y^'^ mit berücksichtigt, erhält man die sogenannte r-mal 

 erweiterte infinitesimale Transformation: 



ü^f^ IP + ^(z + % Ä + ^2^ + • • + nr 4f)- 



Eine Differentialgleichung r^"" Ordnung zwischen x und y: 

 y^'-) — a){x, y, y...y^'-''^) = 



gestattet nun nach Satz 2, § 1 des 9. Kap., die infinitesimale Punkt- 

 transformation Uf dann und nur dann, wenn 



lf(y(r) — (o) = Q' (y^'^ — O) 



ist. Hierbei bedeutet q einen von y^''^ freien Factor. Wir können dies 

 auch so auffassen: Die Gleichung i/W — o = zeichnet aus der Schar 

 aller oo'-+2 Wertsysteme {x, y, y, ij" . . . y^''^) gewisse oü'-+i aus, und 

 sie gestattet Uf dann und nur dann, wenn die Transformation Vf, 

 die ja x, y, y . . . y'^''^ Incremente erteilt, diese oo''+^ Wertsysteme unter 

 einander vertauscht. Bedeuten ÜJ. ■ ■ U,/ mehrere infinitesimale Punkt- 

 transformationen, so ist 



