294 Kapitel 12, § 1. 



c,mf + ■ ■ ^ c,u;f 



die r^^ Erweiterung von 



Daher ergiebt sich unmittelbar der zwar ziemlich selbverständliche 

 Satz, der aber doch besonders ausgesprochen werden möo-e : 



Satz 1: Gestattet eine Differentialgleichung r''^'' Ordnung in x y 

 die infinitesimalen PunUtransformationen UJ.. U,/, so gestattet sie auch 



jede Transformation c^üj -\ f- c^, U/, in der c, . . c^ irgend welche 



Constanten bedeuten. 



Auzahl der 

 inf. Transf. 



Eine Differentialgleichung erster Ordnung in x, y gestattet be- 

 ciuer iJiffgi.kanntlich oo=^ von einander unabhängige infinitesimale Punkttransfor- 

 mationen, d. h. in den allgemeinen Ausdruck einer solchen infinitesi- 

 malen Transformation geht stets eine willkürliche Ii'unction ein*). 

 "gioiZnf Betrachten wir nun eine Differentialgleichung zweiter Ordnung in 

 ->. ürdnuBg.^^ ij. Dabei werden wir uns auf einen functionentheoretischen Hülfs- 

 satz stützen: 



Ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung 

 y"— (o{x, y, y) = 



vorgelegt, so ist es immer möglich, in der (xy)- Ebene einen solchen Be- 

 reich abzugrenzen, dass durch zwei beliebige PunUe des Bereiches immer 

 eine und nur eine Integralcurve hindurchgeht. 



Der Beweis dieses Satzes gehört nicht hierher. 



Bekanntlich gestattet die Differentialgleichung y" = gerade acht 

 von einander unabhängige infinitesimale Transformationen. (Siehe § 3 

 des 2. Kap.) Wir werden sehen, dass eine Differentialgleichung zweiter 

 Ordnung «/" — o = überhaupt höchstens acht zulassen kann. An- 

 genommen nämlich, sie gestatte wenigstens neun: TJJ. . . ü^f In dem 

 im Hülfssatz erwähnten Bereich wählen wir vier Punkte Pi, P2, P^, p^, 

 von denen keine drei auf derselben Integralcurve der Differential- 

 gleichung gelegen sind. Nach Satz 1 gestattet die Differentialgleichnug 

 jede Transformation 



Uf=c,UJ-^-. + c,U,f. 

 Es lassen sich offenbar für q . . c^ solche nicht sämtlich verschwin- 

 dende Werte angeben, dass diese infinitesimale Transformation die vier 

 ausgewählten Punkte in Ruhe lässt, denn es ergeben sich 2-4 = 8 

 Bedingungsgleichungen für die 9 Grössen c^ . . c^. Es existiert also 

 bei der gemachten Annahme eine infinitesimale Punkttransformation 



*) Vgl. „Diffgln. m. inf. Trf.", Theorem 10, § 3 des 7. Kap. 



