Vorbereitende Bemerkungen. 295 



JJf, welche die Integralcurven der Differentialgleichung unter einander 

 vertauscht und die vier Punkte Pi, p^, p^, p^ ^^ ^^^^ l^^^st. Durch 

 Pk und je einen der drei andern invarianten Punkte geht nach un- 

 serem Hülfssatz je eine Integralcurve. Also bleiben bei Uf diese drei 

 Integralcurven in Ruhe (Fig. 30). Im Punkte pk hat y für diese drei 

 Integralcurven drei bestimmte Werte und diese 

 werden bei der einmal erweiterten infinitesi- 

 malen Transformation ü'f nicht geändert. Da 

 nun nach dem Obigen dy sich quadratisch durch 

 y ausdrückt, so wird y' durch eine infinitesimale 

 projective Transformation der einfachen Mannig- 

 faltigkeit y geändert. Bei einer solchen bleibt 

 aber das Doppelverhältnis aus vier Werten y invariant. Da nun in 

 Pk drei Werte y invariant sind, ist es also auch jeder Wert y in p)k- 

 (Vgl Satz 2, § 1 des 5. Kap.) Denselben Schluss können wir für 

 jeden den vier Punkte machen: In jedem dieser Punkte bleiben die 

 Richtungen y bei üf ungeändert. Ist nun p ein beliebiger Punkt des 

 Bereiches, so geht durch ihn und p^ nach dem Hülfssatz gerade eine 

 Inte'Tralcurve. Weil ferner zu zwei verschiedenen durch p^ gehenden In- 

 tegralcurven zwei verschiedene Richtungen y in p^ gehören und alle 

 y in i?! in Ruhe bleiben, so folgt, dass diese Integralcurve durch p 

 und Pi bei Uf in sich übergeht. Ebenso geht die durch p und p^ ge- 

 legte Integralcurve in sich über. Also bleibt p als Schnittpunkt beider 

 Intßo-ralcurven fest. Eine infinitesimale Punkttransformation unserer 

 Gleichung y" — o = 0, die vier Punkte jenes Bereiches in Ruhe lässt, 

 führt also überhaupt jeden Punkt des Bereiches in sich über, dem- 

 nach auch — wie durch analytische Fortsetzung folgt — jeden Punkt 

 der Ebene, d. h. sie ist die Identität. Dies widerspricht der Voraus- 

 setzung, dass eine wirkliche infinitesimale Transformation Uf vor- 

 handen sei, die p^^ . . p,i invariant lässt. Diese Voraussetzung aber 

 beruhte darauf, dass y" — co = mindestens neun von einander un- 

 abhängige infinitesimale Transformationen gestatte. Diese Annahme 

 ist daher falsch. 



Satz 2 : Eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung in 

 X, y gestattet höchstens acht von einander unabhängige infinitesimale Trans- 

 formationen in X, y*). 



Gehen wir zu Differentialgleichungen dritter Ordnung über. FürSro/au 

 diese stellt sich die Betrachtung fast ebenso dar, wie für die Differen-^ Ordnung. 



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*) Vgl. „Diffgn. m. inf. Trf.", § 3 des 17. Kap. 



