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Kapitel 12, § 1. 



tialgleicliuiigen vou noch höherer Ordnung, tlierbei inachen wir Ge- 

 brauch von dem functiüuentheoretischen Hülfssatz, dessen Beweis nicht 

 hierher gehört: 



Ist eine Differentialgleichung r'^" Ordnung (r > 2) 



vorgelegt, so ist es immer möglich, in der {xy)- Ebene einen solchen Be- 

 reich abzugrenzen, dass durch zwei beliebige PunMe des Bereiches immer 

 eine und nur eine Integralcurve hindurchgeht, die in einem der beiden 

 Punhte vorgeschriebene Werte von y , y" . .y^'''~^'> hat 



Wir verfahren nun so: 



Angenommen, die vorgelegte Differentialgleichung r^^'' Ordnung: 

 y^'-^ — aix, y, y' . . yC-^)) = 



gestatte q von einander unabhängige infinitesimale Transformationen 

 Ulf- . U(,f, so gestattet sie nach Satz 1 auch jede von der Form 



W=c,L\f+---^c,U,f 



Unter diesen oo?~^ infinitesimalen Transformationen sind nun min- 

 * zwS""" destens ooi'-^ enthalten, die zwei beliebig ausgewählte Punkte p, q 

 j'uiikto. innerhalb jenes Bereiches in Ruhe lassen. Denn die Invarianz eines 

 Punktes drückt sich durch höchstens zwei Bedingungen aus. Es giebt 

 also mindestens q — 4 von einander unabhängige infinitesimale Punkt- 

 transformationen V^f. . . Vfi-^f der Gleichung, welche die Punkte p 

 und q in Ruhe lassen. Durch p und g gehen nun gerade oo'"— ^ In- 

 tegralcurven hindurch. Dieselben werden von VJ. . . V(,—if unter ein- 

 ander vertauscht, da p und q invariant sind. Diese cxd'"— ^ Integral- 

 curven werden sich analytisch durch eine Gleichung mit r — 2 wesent- 

 lichen Parametern a^ . . «r— 2 darstellen. V^f. . . V^—4,f und allgemein 

 c,VJ -\- • - ■ -^ c,^,V,-,f 



vertauschen also die Wertsysteme (a^ . , ar—2) unter einander (vgl. § 1 

 des 10. Kap.). Verlangen wir, dass eines der Wertsysteme fest bleiben 



soll, so sind also dazu höch- 

 stens r — 2 Gleichungen nötig, 

 die sich als Bedingungen zwi- 

 schen Cj . . . C(t—i darstellen. 

 Demnach giebt es mindestens 

 6 = Q — 4 — (r — 2) von einan- 

 der unabhängige infinitesimale 

 Transformationen Wif...W„f 

 oiner^intT- ^^^ Crleichuug, die p, q und eine Integralcurve c durch p, q in sich 

 graicurvo. übcrführcn. (Vgl. Fig. 31.) Es giebt nun 00 ^ Integralcurven, die durch 



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