Vorbereitende ßemerkuugeii. 297 



j) gehen und mit c daselbst die Werte y\ y" . . y^'-^^ gemein haben. 

 Die WJ'. . . W„f transformieren diese oo^ Integraleurven unter sich, 

 da sie alle diese Werte ij, ij"..y^'"-^^ von c in p ungeändert lassen. 

 Der analytische Ausdruck dieser oo^ Integraleurven ist eine Gleichung 

 mit einem Parameter a. Dieser Parameter a erfährt also bei den 



c^W,f-\ Y-CaWaf 



gewisse Incremente. Die Forderung, dass ein Wert des Parameters 

 ungeändert bleiben soll, führt also zu höchstens einer Bedingung 

 zwischen c^ . . Ca. 



Mithin giebt es mindestens 6 — 1 von einander unabhängige in- 

 finitesimale Transformationen der Gleichung, die ausser j9, q und c ^'"^^1'^^^''" 

 noch eine lutegralcurve n invariant lassen, die durch p geht und hier ^w^iteu i»- 

 mit c die Werte y, y" . . i/''~'^^ gemein hat. 



Ebenso schliessen wir, dass es mindestens 6 — 2, also q — 4 — ^;^i°"r" 



(f- — 2) — 2 = Q — r — 4 von einander unabhängige infinitesimale aritten. 



Transformationen der Gleichung giebt, die ausser p, q, c und n noch 

 eine Integralcurve x invariant lassen, welche durch q geht und dort 

 mit c die Werte y, y" , .tß-'^^ gemein hat. Wir bezeichnen diese in- 

 finitesimalen Transformationen mit Xf. 



Wählen wir nun irgend einen Punkt P innerhalb unseres Be- 

 reiches. Durch ihn geht nach dem Hülfssatze eiue Integralcurve p 

 nach p, die in p mit c die Werte y, y" . . ?/('—-') gemein hat, und eine 

 Integralcurve q nach g, die in q mit c ebenfalls die Werte y, y".Af''-~^ 

 gemein hat. 



Nun giebt es gerade oo^ Integraleurven durch p, die daselbst mit 

 c die Werte y\ y" . . y'-''^^^ gemein haben. Zu ihnen gehören verschie- 

 dene Werte von y^''~'^\ Aber y^''~^^ erfährt bei den (r — l)-mal er- 

 weiterten X'— Y Incremente, die linear in y^''~'^^ sind, wie wir oben 

 bemerkten. Zwei Werte y^''~^^ an der Stelle p sind invariant bei den 

 X'— Yi nämlich die zu c und n gehörigen. Also bleibt jeder Wert 

 von i/^'""^^ an dieser Stelle p invariant, sobald für y, y" . . ?/^'— ^) eben 

 die zu c und % gehörigen Werte gesetzt werden (vgl. § 1 des 5. Kap.). 

 Eine infinitesimale lineare Transformation der einfachen Mannigfaltig- 

 keit «/^'■""^^ lässt nämlich höchstens einm endlichen Wert von y^''~^'> 

 ungeändert, und wir dürfen ja annehmen, dass y'^''~^^ für c und für % 

 an der Stelle p endlich sm. 



Es folgt daher auch, dass die Xf jede Integralcurve durch ^Nachweis, 

 welche in p mit c die Werte y, y" . . y^''-"^) gemein hat, in Ruhe lassen.^ AUes^in^^ 

 Demnach ist die Curve p invariant bei den Xf. Ebenso ist die Curve 

 q und mithin auch der Schnittpunkt P von p und q invariant. Alle 



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