298 Kapitel 12, § 1. 



Punkte des Bereiches und also — wie durch analytische Fortsetzung 

 folgt — alle Punkte der Ebene überhaupt bleiben bei den X.f in- 

 variant. Die X.f müssen sich daher auf die Identität reducieren. 



Es ergaben sich aber mindestens q — r — 4 von einander unab- 

 hängige infinitesimale Transformationen X/*. Diese Zahl darf also 

 nicht grösser als Null sein. Daher ergiebt sich als ein Maximum 



für Q : 



9 = r -f- 4. 



Satz 3 : Eine gewöhnliche Differentialgleichung r^'^'' Ordnung (r > 2) 

 in X, y gestattet sicher nicht mehr als r -{- 4 von einander unabhängige 

 infinitesimale Transformationen in x, y. 



Dass es andererseits Differentialgleichungen r*"^ Ordnung giebt, 

 die wirklich r -f- 4 von einander unabhängige infinitesimale Transfor- 

 mationen zulassen, lehrt das Beispiel; 



^/C-) =- 



mit den r -f- 4 Transformationen : 



q, xq, x^q . . . x''~''-q, yq, p, xp, x^p + '^^VQ., 



die übrigens nach dem Späteren eine Gruppe erzeugen. Ist r > 2, so 

 kann man, nebenbei gesagt, beweisen, dass jede Differentialgleichung 

 yter Ordnung, welche die Maximalzahl r -f- 4 von unabhängigen infini- 

 tesimalen Transformationen in sich besitzt, durch Einführung passen- 

 der Variabein auf die Form y^'^ = gebracht werden kann *). 



Der Unterschied des in Satz 3 ausgesprochenen Ergebnisses von 

 dem Resultat für r == 2 beruht nach unseren Beweisen darauf, dass 

 bei einer erweiterten infinitesimalen Punkttransformation y' ein in y 

 quadratisches, y" aber ein in y" , entsprechend y" ein in y" u. s. w. 

 lineares Increment erfährt. 



Wir werden im nächsten Paragraphen unsere Sätze gebrauchen. 

 Ausserdem müssen wir noch einige Hülfssätze vorausschicken. 

 Augenscheinlich gilt zunächst der 

 Gruppe der Satz 4: Dcr Inheqriff aller Transformationen, die eine vorgelegte 



Transform. /^ • • 



einer Differentialgleichung in x, y gestattet, bildet eine Gruppe mit paarweis 

 gicicbung. inversen Transformationen. 



Deim gestattet die Differentialgleichung 



(1) ^W_o(a;, y, y'..yir-^))^0 



*) Vgl. für r == 2 die Schlussbemerkung in § 3 des .17. Kap, der „Diffgl. m. 

 iuf. Trf.". 



