Vorbereitende Bemerkungen. 299 



die beiden Transformationen S und T, deren erstere x, y in x^, y^, 

 deren letztere x^, y^ in x.^, y.^ überführt, so geht die Gleichung bei S in 



und diese bei T in 



(3) y,o-^-a>(x,, y„ y,' . . y,''-'^) = 



über, sodass also die Aufeinanderfolge ST die Gleichung (1) in (3) 

 verwandelt, d. h. die Differentialgleichung ebenfalls in sich überführt. 

 Die Schar aller Transformationen der Gleichung (1) in sich ist mithin 

 so beschaffen, dass die Aufeinanderfolge zweier Transformationen der 

 Schar wieder der Schar angehört: Die Schar bildet eine Gruppe. 

 Wenn ferner S die Gleichung (1) in (2) verwandelt, so führt S~^ die 

 Gleichung (2) in (1) über. Also gehört auch S~'^ der Gruppe an. 



Die Gruppe braucht allerdings nicht continuierlich zu sein. So- 

 bald man jedoch sich in einer gewissen Umgebung der identischen 

 Transformation hält, kann man eine continuierliche Gruppe con- 

 struieren, welche die Differentialgleichung invariant lässt. Erst durch 

 analytische Fortsetzung dieser würde man eventuell zu einer nicht 

 continuierlichen Gruppe gelangen. Auf diese functionentheoretischen 

 Fragen gehen wir wie immer nicht näher ein. 



Angenommen nun, die Differentialgleichung (1) gestatte eine 

 ()-gliedrige Gruppe, so enthält diese Gruppe nach Theorem 18, § 3 

 des 6. Kap., gerade q von einander unabhängige infinitesimale Trans- 

 formationen. Nach Satz 2 und 3 ist alsdann q an eine obere Grenze 

 gebunden, sobald y>l ist. Daher: 



Satz 5 : Gestattet eine Differentialgleichung r'"'' Ordnung (r > 1) in 

 X, y eine Q-gliedrige Gruppe von Transformationen in x, y, so ist die 

 Zahl Q an eine endliche obere Grenze gebunden. 



Weiter leuchtet der folgende Satz ein: 



Satz 6 : Haben zwei endliche continuierliche Gruppen mit «aant'eii>9,f"'*'''J®'""" 



■'-■^ '- Transform. 



inverscn Transformationen eine continuierliche Schar von Transforma- ^^woier 

 tionen gemein, so ist diese Schar wieder eine endliche continuierliche 

 Gruppe mit paarweis inversen Transformationen. 



Denn sind S^, S^ . . die Transformationen der einen, 1\, T^ . . die 

 der andern Gruppe und gehören U^, Z!^ • • sowohl zu den S als auch 

 zu den T, so ist jede Aufeinanderfolge I^iUk eine S und auch eine T, 

 daher eine U. Die U bilden folglich eine Gruppe. Ist Z!~^ zu Z! in- 

 vers, so gehört Zl~^ sowohl zur ersten als auch zur zweiten Gruppe, 

 da beide paarweis inverse Transformationen haben, Mithin ist 27~^ 

 wieder eine 2J. 



