300 Kapitel 12, §§ 1, 2. 



Schliesslich ist noch von Wichtigkeit der 



Ausführung gg^^2 7: Sind U^f- • Urf T von einander unabhängige infinitesimale 



auf eine 'fransformationeu der Ebene und ist c eine Curve, die Iceine infinitesimale 



Transformation eJJJ'-\-----\- erUrf gestattet, so geht c bei allen von 



den 2Jei Uif erzeugten endlichen Transformationen in oo'" verschiedene 



Curven über. 



Es sei nämlich 

 (4) y - (p{x) = 



die vorsfelegte Curve, die keine infinitesimale Transformation EdUif 

 gestattet. Die endlichen Gleichungen der von HeiUif erzeugten ein- 

 gliedrigen Gruppe können nach Theorem 20, § 2 des 7. Kap., auf- 

 gestellt werden. Wir finden es bequemer, die endlichen Gleichungen 

 der eingliedrigen Gruppe — ZeiUif aufzustellen, doch nicht in der 

 gewohnten Form, in der x^ und y^ Functionen von x und y sind, son- 

 dern in nach x, y aufgelöster Form. Diese Gleichungen ergeben sich 

 als die endlichen Gleichungen der eingliedrigen Gruppe IJeiüif, wenn 

 darin x, y mit x^, y^ vertauscht werden. So kommt nach Theorem 20: 



x = Xi -\- Ueiüfxi -f UUeieküfükXi + • •, 



y = y, + ECiVly, -f EEeiCkülUly^ + • •. 



Der Index 1 bei den TJ soll andeuten, dass überall x^, yi statt x, y 

 zu schreiben ist. Die Curve (4) geht bei allen von UJ'. . Urf erzeugten 

 endlichen Transformationen demnach über in die Schar: 



y, + Uet ü! y, + ESCiCkUl üly,-\ 



— tpix, + 2:eiUlx^ + ZUeie.ülüt x, -\- ■ -) = 



oder, da wir bei genügend kleinen absoluten Beträgen von e^ . . Cr ent- 

 wickeln dürfen, in die Schar: 



F=y, — (p(x,) + Ueiiüfy, — tp {x^)Ul x,) -\ = 0. 



Hierin sind die Glieder, in denen Producte der e^ . . Cr auftreten, durch 

 Punkte angedeutet. 



Diese Schar F=0 enthält r Parameter e^..er. Wir haben zu 

 beweisen, dass sie wesentlich sind. Dies wäre dann und nur dann 

 nicht der Fall, wenn F eine Function von x^, y^ und nur r—l Func- 

 tionen von e^ . .er wäre, wenn also F eine homogene lineare partielle 

 Differentialgleichung in e^ . . e^ erfüllte. Es ist aber: 



(5) * ^^, = Uly,-<p\x,)ül{x,) + ---. 



Hierin sind die e^.Xr enthaltenden Glieder nur angedeutet. Eine Gleichung: 



