Fieweis des Hauptsatzes. 301 



(6) Ix (^1 • • ^'•) ^f H H l'ie, . . e,) ^^^^ = 



würde sich aber immer in der Form schreiben lassen : 



in der die Glieder in t^ — •• -^— , deren Coefficienten die e, . . e^ und 



ihre Producte und Potenzen sind, nicht mitgeschrieben sind, während 

 c^. .Cr von Cy . . e,- unabhängige Constanten bedeuten, die nicht sämt- 

 lich Null sind. Für e^ = e^ = • • = ^^ = käme also : 



Es ist jedoch nach (5) für Cj = • • = e^ = : 



Also müsste sein : 



!!■ 



d. h. die Curve y^ — ^^C^i) ==^ oder also y — (p{x) = müsste die 

 infinitesimale Transformation EciUif gestatten, was der Voraussetzung 

 widerspricht. Die Annahme (6) ist demnach undenkbar: e^ . . Cr sind 

 in der Schar i^ = sämtlich wesentlich. 



Hiermit ist Satz 7 bewiesen. Von ihm wie von den übrigen 

 Sätzen machen wir im nächsten Paragraphen Gebrauch. 



§ 2. Beweis des Hauptsatzes. 

 Zunächst beweisen wir den ersten Teil des HauptsaUes: K^tor tgü 



. dos Uaupt- 



Vorgelegt sei eine r-gliedrige Gruppe der Ebene mit paarweis satzes. 

 iuversen Transformationen : 



(7) Xy = (p{x, y, «1 . . «,.), 2/i = ^{^y 2/; «1 • • «r). 



Nach Theorem 18, § 3 des 6. Kap., besitzt die Gruppe gerade r von 

 einander unabhängige infinitesimale Transformationen U^f- • • Urf und 

 enthält überhaupt alle aus ihnen linear ableitbaren: 



cJJJ-^-- + CrUrf 



und keine weiteren. Wir werden jetzt zeigen, dass die Klammeraus- 

 drücke {TJiUk) auch der Gruppe angehören, d. h. also linear aus 

 Ulf- . • Urf ableitbar sind. 



