302 Kapitel 12, § 2. 



Sei etwa {U-^U.^ nicht linear aus C/i/". .. ?7^/" ableitbar. Alsdann 

 betrachten wir die oo'" infinitesimalen Transformationen: 



(8) . Vf= C(U, U,) + C, UJ+ ■ . + CrUrf, 



in denen c, c^ . . Cr Constanten bedeuten. Sie besitzen je cx)^ Bahn- 

 curven, denn jede einzelne erzeugt ja bekanntlich durch Wiederholung 

 eine eingliedrige Gruppe. Insgesamt haben sie also höchstens 00*"+^ 

 Bahncurven. 



Gestattet eine Curve der Ebene eine dieser Transformationen Vf, 

 so ist sie entweder eine Bahncurve derselben oder alle ihre Punkte 

 bleiben bei der betreffenden Vf ungeändert. Solcher invarianter Punkte 

 kann es aber nur eine beschränkte Anzahl geben insofern, als ihr Ort 

 höchstens aus einer discreten Anzahl von Curven bestehen kann. Mit- 

 hin giebt es in der Ebene höchstens 00''+^ Curven, deren jede bei 

 wenigstens einer infinitesimalen Transformation Vf in sich überge- 

 führt wird. 



Daher giebt es sicher Curven, die Jceine der oo'' infinitesimalen 

 Transformationen Vf zulassen. Es sei Je eine solche Curve. Wenn 

 wir auf diese alle 00'' endlichen Transformationen unserer Gruppe (7) 

 ausüben, so geht sie in eine Schar von Curven über. Nach Satz 7, 

 § 4 des 9. Kap., besteht diese Schar gerade aus 00'' Curven, deren 

 Inbegriff bei allen Transformationen der Gruppe invariant bleibt. Diese 

 00'' Curven werden analytisch durch eine Differentialgleichung r^^^ Ord- 

 nung in X, y definiert: 



(9) y(^) — a)(x, y, y . . yi^-^)) = 0. 



Diese Differentialgleichung gestattet also U^f... Urf Nach Satz 3, 

 § 1 des 9. Kap., gestattet sie daher auch z. B. (üiU^). Nach Voraus- 

 setzung soll sich {U1U2) nicht linear aus Uif.. . Urf ableiten lassen. 

 Die Differentialgleichung (9) gestattet also mindestens r -\- 1 von ein- 

 ander unabhängige infinitesimale Transformationen. Nach Satz 4, § 1 

 des 9. Kap., lässt sie daher auch alle von den oo*" infinitesimalen 

 Transformationen (8) erzeugten endlichen Transformationen zu. Die 

 Zahl derselben ist aber nach Theorem 20, § 2 des 7. Kap., 00'+^ 

 Mithin gestattet die durch (9) dargestellte Schar von oo'" Curven diese 

 00''+ 1 verschiedenen endlichen Transformationen. Aber nach Satz 7 

 des vorigen Paragraphen geht die Curve Je bei Ausführung aller dieser 

 Transformationen in 00'"+^ verschiedene Curven über. Wir sind also 

 zu einem Widerspruch gekommen. Die Annahme, dass {U^U.^ von 

 Ulf... Urf unabhängig sei, ist mithin falsch. Es ist daher {U^U.^ 

 linear aus Ü^f . . . Urf ableitbar. Dasselbe gilt natürlich von jedem 

 Klammerausdrucke (JJiUk). Daher: 



