Beweis des Hauptsatzes. 303 



Satz 8: Sind Uif... Urf v von einander unahMngige infinitesimale 

 Transformationen einer r-gliedrigen Gruppe der Ebene, so ist jeder 

 Klammer ausdruch ( üi Uk) ctus ihnen von der Form : 



r 



{Ui U,) = ^s c,-,, Usf ii,lc=-l,2.. r), 



in der die Ciks gewisse Constanten sind. 



Um nunmehr die Umkehrung zu beweisen, nehmen wir an, esHmkeimmg. 

 seien r von einander unabhängige infinitesimale projective Transfor- 



mationen Uif. . . Urf in x, y vorgelegt, zwischen denen -^-^ Rela- 

 tionen von der Form 



r 



(10) ( Ui U,) = 2 <^n-^ Usf {i,lc= 1,2 •■ r) 



1 



bestehen, sodass also die Klammerausdrücke der U^f . . .Urf aus 

 Ulf. . . Urf selbst linear ableitbar sind. Wir werden nachweisen, dass 

 Ulf. . . Urf eine r-gliedrige Gruppe erzeugen. Man wird bemerken, 

 dass der Beweis einige Analogien zum Beweise in § 3 des 9. Kap. 

 darbietet. Wir werden uns deshalb auch knapper fassen. 



Zunächst erkennen wir wie damals, dass die (r — l)-mal er- 

 weiterten infinitesimalen Transformationen gleich Null gesetzt ein ge- 



o o o 



rade r-gliedriges vollständiges System bilden: 



(11) Ur-'f=0 (i=l, 2..r). 



An Stelle der damaligen Curve, die keine infinitesimale projective 

 Transformation gestattet, tritt hier nur eine Curve h, die keine infini- 

 tesimale Transformation 2Jei Uif zulässt. Da es höchstens oo'' Curven 

 giebt, die eine dieser infinitesimalen Transformationen gestatten, giebt 

 es sicher eine Curve k, wie sie gebraucht wird. Integration von (11) 

 giebt eine Lösung Jr—i, sodass jede andere Lösung Function von 

 dieser ist. Nun folgt weiter wie früher, dass 



(12) Ui'f=0 (^■=l, 2..r) 



auch ein r-gliedriges vollständiges System mit der Lösung Jr—i und 

 einer neuen Lösung Jr ist, welch letztere sicher y^''^ enthält. 



Von hier an weichen wir merklicher von der Betrachtung in § 3 

 des 9. Kap. ab: Jede Gleichung 



(13) J, — ß(J,_i) = 



stellt eine Differentialgleichung von sicher r*®' Ordnung dar, die alle 

 infinitesimalen Transformationen EeiUif sowie nach Satz 4, § 1 des 



