304 Kapitel 12, §§ 2, 3. 



0. Kap., die von ihnen erzeugten endlichen Transformationen zulässt. 

 Wir können nun überhaupt alle infinitesimalen Transformationen F/" auf- 

 gesucht denken, welche (13) invariant lassen. Nach Satz 2, § 1 des 

 9. Kap., leuchtet ein, dass sie eine Schar von der Form 2J Const. Vf 

 bilden, die nach Satz 4 und 5 des § 1 des gegenwärtigen Kapitels eine 

 ()-gliedrige Gruppe erzeugen, in der q an eine endliche Grenze gebunden 

 ist. Denn der in Satz 5 ausgeschlossene Fall r = 1 tritt nicht ein, da 

 wir es ja mit mehr als einer infinitesimalen Transformation Uf zu 

 thuu haben, denn der Hauptsatz verliert für eingliedrige Gruppen jede 

 Bedeutung. 



Die ^-gliedrige Gruppe kann nun eine andere sein für eine andere 

 Wahl der Function Sl von Jr—i- Es könnten sich also sehr viele 

 Gruppen ergeben. Aber nach Satz 6 des § 1 bildet die allen diesen 

 Gruppen gemeinsame continuierliche Schar von Transformationen für 

 sich eine gewisse (j-gliedrige Gruppe Ga- Die Zahl ö ist an eine 

 endliche Grenze gebunden. Sicher enthält diese Ga die infinitesimalen 

 Transformationen UeiUif selbst. Es ist daher ö > r. Es mögen 

 V^f. . . V„—rf <? — '^ von Ulf- • • Urf unabhängige infinitesimale Trans- 

 formationen der Gruppe Ga sein. 



Die Difi'erentialgleichung r^^"" Ordnung (13) gestattet dann alle in- 

 finitesimalen Transformationen 



(14) e,UJ- + ■ ■ + er Urf + C,VJ + ■ • + C„-rfVa-rf 



einer gewissen ö-gliedrigen Gruppe. Nun giebt es höchstens <x>'^ 

 Curven, die bei wenigstens einer dieser oo*^""^ infinitesimalen Transfor- 

 mationen in Ruhe bleiben. (Vgl. einen analogen Schluss nach Glei- 

 chung (8)). Mithin giebt es sicher Curven h, die keine infinitesimale 

 Transformation (14) gestatten. In (13) lässt sich aber ü immer so 

 wählen, dass die Differentialgleichung eine derartige Curve li 



y — <P{^) = 

 als Integralcurve besitzt, denn man braucht dazu nur Si so zu wählen, 

 dass (13) erfüllt wird durch 



Dies ist immer möglich, sobald die Curve h nicht etwa Integralcurve 

 der Gleichung 



J._i = 



ist. Dies letztere ist aber leicht zu vermeiden. 



Nunmehr stellt die Differentialgleichung (13) oo'" verschiedene , 

 Curven dar, unter denen die Curve li enthalten ist. Diese Schar ge- j 

 stattet alle oo*^"^ infinitesimalen Transformationen (14) und die von 



