Nachträgliche Bemerkungen zum Hauptsatze. 305 



ihnen erzeugten oo'' endlichen Transformationen. Nach Satz 7 wird 

 jedoch die Curve Ic durch diese oo'' endlichen Transformationen in oo" 

 verschiedene Curven übergeführt. Demnach kann <3 nicht grösser als 

 r sein. Es ist also 6 = r, d. h. die Gruppe Ga reduciert sich auf die 

 Schar aller endlichen Transformationen Ueiüif, die also eine Gruppe 

 bilden müssen. 



Satz 9: Stehen r von einander unabhängige infinitesimale Trans- 

 formationen UJ- ■ • TJrf der Ebene paarweis in Beziehungen von der Form 



r 



{Ui Uk) = ^ c^ks W (i, 7c = 1, 2 . . r), 



in der die Ciks Constanten sind, so bilden die von den oo'"- ^ infinitesi- 

 malen Transformationen UeiU/f ermigten endlichen Transformationen 

 eine r-gliedrige Gruppe mit paarweis inversen Transformationen. 



Satz 8 und 9 geben nun vereinigt den Hauptsatz für die Gruppen iiauptsau. 

 der Ebene : 



Theorem 25 : r von einander unabhängige infinitesimale 

 Transformationen TJJ. . . Urf der Ebene erzeugen dann und nur 

 dann eine r-gliedrige Gruppe mit paarweis inversen Transfor- 

 mationen, wenn die Uif paarweis in Beziehungen stehen von der 

 Form 



r 



{UiU,)=^c,uUJ {i,l=\,2--r), 

 in der die Ciks Constanten sind. 



§ 3. Nachträgliche Bemerkungen zum Hauptsatze. 



Die früher eingeführte Redeweise „Gruppe U^f . . . Urf" hat nach 

 unserem Hauptsatz nunmehr dann und nur dann einen Sinn, wenn die 

 {UiUk) linear ableitbar aus TJ^f . . . Urf sind. 



Wir sind jetzt in der Lage, den Satz 8 des § 4, 9. Kap., ohne 

 den damaligen Vorbehalt auszusprechen. Wir fassen ihn mit dem 

 Satz 9 desselben Paragraphen zusammen in dem 



Theorem 26: Eine r-gliedrige Gruppe UJ'. . . Uf der jEJ&eweDifforontia 

 besitzt nur eine Bifferentialinvariante Jr—i von niederer als 

 r'^*" Ordnung und ferner je eine Bifferentialinvariante Jr, Jr+i'- 

 von gerade r^"", {r -\- 1)'*''. . Ordnung derart, dass jede Bifferen- 

 tialinvariante (r -\- s)**'" Ordnung eine beliebige Function von 



Lie, Continuierliche Gruppen. 20 



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