306 Kapitel 12, § :^. 



Jr—i, Jr^ Jr+i ■ • ^r+.s- ist. Jr—1 Jcttnu vou niederer als (r — 1)'"'' Ord- 

 nung sein. Es darf gesetzt werden'-^): 



d'Jr 



d" Jr--\ 



dxx 



Nach Satz 2, § 1 des 8. Kap., ist Jr—i von nur nullter Ordnung, 

 d. h. eine Function von x und y allein, sobald die Gruppe Uif...Urf 

 intransitiv ist. Andernfalls ist Jr—i mindestens von erster Ordnung. 



In den fundamentalen Formeln 



r 



(15) (UJh)=^sc,,Mf 



1 



für die infinitesimalen Transformationen einer Gruppe treten r^ gewisse 



Constanten Ciks auf. Kennt man diese Constanten, so weiss man auch, 



wie sich die Klammerausdrücke aus den infinitesimalen Transforma- 



setzuu'. tionen der Gruppe zusammensetzen. Das System dieser Constanten Cij^s 



einer 



Grnpi.iv bestimmt, sagen wir, die Zusammensetzung der Gruppe IJi^f . . . Urf**)- 



*) Gestatten überhaupt n gegebene Differentialausdrücke 



/ dz dz d"Z \ 



\ ^ OX^ OXn dXi^ I 



gewisse bekannte Transformationen in x.^ ■ - Xn, so ist das Gleiche mit der Func- 

 tionaldeterminante 



8xi dx^ dxn 



der Fall. Folglich geben n -\- 1 solche Ausdrücke J^ • ■ Jn+i eine neue DifFeren- 

 tialinvariante : 



„ , ^Jj dJn — ldJn + l 

 dx^ dXn — \ dXn 



oder 



dXi dXn — X dXn 



\x^ 



Jn — X Jn-\-l^ 

 Xn — 1 Xn / 



fJi J'n\ 



\^'l Xn / 



oder, wenn wir das Bilden der Functionaldeterminante von J^ ■ Jn—i und /« als 

 einen DiflFerentiationsprocess von Js auffassen : 



dJn 



**) Vgl. „Diffgln. m. inf. Trf.", § 1 des 21. Kap. 



