Nachtr'äglicbe Bemerkungen zum Hauptsatze. 307 



Zu ein und derselben Gruppe gehören unendlich viele Systeme der Cn-s. 

 Denn man kann anstatt U^f . . . H-f r lineare Combinationen derselben 

 benutzen : 



W=^yuUjf {i=l, 2..r), 



in denen die j/,^ irgend welche Constanten bedeuten, deren Deter- 

 minante nicht verschwindet. Alsdann werden sich die {UiUi) in an- 

 derer Weise durch die Uf ausdrücken als die (UiUk) durch die Uf. 

 Es leuchtet aber ein, dass alle Wertsysteme Cu« einer Gruppe bekannt 

 sind, sobald man nur eines kennt. 



Liegt eine Gruppe vor, so kann man sich daher das Problem 

 stellen, die infinitesimalen Transformationen der Gruppe so aus- 

 zuwählen, dass das System der c^., eine möglichst einfache Gestalt 

 annimmt, dass also die (JJiTJh) sich in möglichst einfacher Weise durch 

 die U-^f. . . Urf ausdrücken lassen. 



Für zweigliedrige Gruppen U^f, U^f gilt in Bezug hierauf der 

 Satz 10 : Jede zweigliedrige Gruppe üj, U.^f liann durch passende 

 ÄustvaJd der infinitesimalen Transformationen auf eine solche Form gc 

 bracht werden, dass entweder 



oder aber 



ist *). 



Denn allgemein wird 



(U,ü,) = aUJ+bU,f 



sein. Ist a = b = 0, so liegt der erste Fall vor. Ist etwa a =j= 0, 

 so setzen wir 



und erhalten die zweite Form 



W, TI,f)EEEÜJ. 



Zwischen den Zusammensetzungsconstanten d^s i« (15) bestehen 

 gewisse Relationen, die aus der sogenannten speciellen Jacobi' sehen Jc^e^-JacoWsche 



O ' & x- Identität. 



tität folgen. 



Es gilt nämlich zunächst der 



Satz 11 : Drei beliebige infinitesimale Transformationen Uf Vf Wf 

 erfüllen immer die Identität: 



i{uv)W) -f {ivw)U) -\- {{wir}V) = o. 



*) Siehe „Diffgln. m. iuf. Tif.", Satz 1, § 1 des 18. Kap. 



20* 



