308 Kapitel 12, §§ 3, 4. 



Diese Jacobi'sche Identität kann man durch directe Ausrechnung 

 der Klammerausdrücke verificieren. Einen kürzeren Beweis lieferten 

 wir an einer anderen Stelle*). 



Wir bemerken noch, dass diese Identität für infinitesimale Trans- 

 formationen in beliebig vielen Veränderlichen gilt. 



Nach diesem Satze ist nun für drei beliebige infinitesimale Trans- 

 formationen Uif, Ukf, Ulf einer Gruppe UJ' . . . TJrf: 



(16) {{üiU,)U^ + {{U,U:)U,) + {{UiU^)ü,) = 0. 



Es ist aber nach (15) : 



r 



{{UiUk)U)^^yi Ci,,{UsUi) 

 • 1 



und nach derselben Formel: 



r 



1 

 daher : 



r 



Vertauschen wir hierin i, Ic, l cyklisch, so ergeben sich im ganzen 

 drei Identitäten. Ihre Addition liefert dann infolge der Identität (IG): 



j{Cik>,Cstt + Ck(sC,ii-\- CiisCskt) Utf'^E 0. 



Da aber U^f. . . Urf von einander unabhängig sind, so kann diese 

 Gleichung nur dann bestehen, wenn darin die Coefficienten von 

 U^f. . . Urf einzeln Null sind. Dies führt zu dem 

 Relationen Satz 12 '. Ist in der Gruppe U-^f...Urf allgemein 



ilen Cj;..,,. 



{UiUk)=^CiksUsf {i,h-=\,2..r), 

 1 



so bestehen zwischen den Constanten Ciks die Relationen: 



r 



Xf {^iksCsit + CkisCsit + Cii.Ckt) = 

 1 



(i, k, l, t= 1, 2 ..r). 



Später bei Betrachtung der Gruppen in beliebig vielen Veränder- 

 lichen werden wir beweisen, dass sich zu einem System von r' Con- 



") Vgl. „DifFgln. m. inf. Trf.", § 4 de« 10. Kap. 



