Die Gruppen der einfachen Mannigfaltigkeit. 309 



stanten C/i«, welche die soeben angegebenen Relationen erfüllen, stets 

 eine Gruppe construieren lässt, deren Zusammensetzung gerade von 

 diesen Ca« gebildet wird*). 



§ 4. Die Gruppen der einfaclien Mannigfaltigkeit. 



Wir kommen jetzt dazu, den Hauptsatz auch für die Gruppen 

 der Geraden, für die Gruppen, bei denen nur eine Veränderliche trans- 

 formiert wird, abzuleiten. 



T I Hauptsatz 



■»•St für dio 



. , V Gruppen 



(17) Xi = <p{X, «1 . . ttr) der 



Geraden. 



eine r-gliedrige continuierliche Gruppe der Geraden mit paar weis iu- 

 versen Transformationen, so besitzt sie r von einander unabhängige 

 infinitesimale Transformationen UJ'. . . Urf, aus denen alle infinitesi- 

 malen Transformationen der Gruppe linear ableitbar sind. (Nach 

 Satz 2, § 3 des 7. Kap.) Dabei haben die Uif die Form: 



Ferner bilden die Gleichungen 



x^ = (p(x, a^. . ttr), yx=y 



eine r-gliedrige Gruppe der Ebene mit paarweis iuversen Transfor- 

 mationen. Da bei ihr y nicht geändert wird, sind ihre infinitesimalen 

 Transformationen identisch mit denen der Gruppe (17). Mithin gilt 

 der erste Teil des Hauptsatzes, also Satz 8 des § 2, auch für die 

 Gruppe (17). 



Umgekehrt seien nun U-^f... Urf r von einander unabhängige in- 

 finitesimale Transformationen der Variabein x von der Form 



welche Relationen erfüllen von der Form : 



r 



(Uiü,) = ^ Gas Usf (i, /. = 1 , 2 . . r). 



*) Aus diesem von Lie entdeckten Satze hat er eine Reihe wichtiger Satire 

 über die Zusammensetzung der Grujipen abgeleitet. Herr Killing, der später 

 einige weitergehende Schlüsse aus diesem Satze gezogen hat, citiert bei der Be- 

 nutzung desselben irrtümlicherweise fortwährend Jacobi, der weder die Summen- 

 formel des Satzes 12 noch die Lie'schen Fundamentalformeln {U.Uf)^=^ Uc^^^Uj' 

 kannte. Infolgedessen bemerkt ein Leser der Killing'schen Arbeiten nicht, dass 

 seiae sämtlichen gruppentheoretischen Folgerungen auf Lie's allgemeinen Theorien 

 beruhen. 



