310 Kapitel 12, § 4. 



in denen die Ciks Constanten bedeuten. Alsdann lassen sich U^f...Urf 

 auch als infinitesimale Transformationen in zwei Veränderlichen x, y 

 auffassen, bei denen allerdings y nicht geändert wird. Nach Satz 9 

 des § 2 erzeugen sie eine r-gliedrige Gruppe der Ebene mit paarweis 

 " inversen Transformationen. Da x bei ihnen nur von x abhängige In- 

 cremente und y stets das Increment Null erhält, so hat diese Gruppe 

 die Form 



x^ = (p{x, a^. .ttr), tJi = y. 



Es leuchtet dann ein, dass die Gleichung 



Xi = (p{x, a^ . . üj) 



für sich eine r-gliedrige Gruppe der einfachen Mannigfaltigkeit x mit 

 paarweis inversen Transformationen darstellt. Der zweite Teil des 

 Hauptsatzes gilt daher auch für die Gruppen der Geraden. Wir sagen 

 somit : 



Satz 13 : Der Hauptsatz der Gruppentheorie gilt auch für die 

 Gruppen der Geraden. 



Bestinimuug Um uun alle continuierlichen Gruppen der Geraden mit paarweis 



aller _ _ •'•■'- '• 



Gruppen dorjjiversen Transformationen zu bestimmen, wollen wir annehmen, es 



Geraden. _ ' 



seien 



W=h{x)p {i=l, 2..r) 



r von einander unabhängige infinitesimale Transformationen einer 

 solchen r-gliedrigen Gruppe. Da wir, wie immer, die |t als ana- 

 lytische Functionen voraussetzen, die sich an einer allgemein aber 

 bestimmt gewählten Stelle {ßf) regulär verhalten, so lassen sich die 

 ^i für hinreichend wenig von x^ abweichende Werte von x nach ganzen 

 Potenzen von x — x^ entwickeln, sodass die Uif die Form haben: 



wtkXng ^^f= («'0 + «/i(^ — ^') + ai2(x — xj + • ■)p 



Transform. \^ ^^ ^ ) 2 . . r) 



Hierin können gewisse der Constanten a^o, a,a . ■ verschwinden. Wir 

 Inf. Trans- wollcu eine infinitesimale Transformation als eine von der o^^^ Ord- 



formation _ _ ^ 



oter ordug. nuug bezeichnen, wenn ihre Reihenentwickelung erst mit (x — x^y be- 

 ginnt. Also ist üif von q^^"" Ordnung, wenn um = aa = - • = a;^j_i == 0, 

 aber a^^, =^ ist. Sind 



Vf= {a(x — xy -f • •)p (a H= 0), 

 Wf= {h{x — xy -{- ■ ■)p {b + 0) 



von ()*®' bez. ö*®"" Ordnung, so giebt die Klammeroperation 



