Die Gruppen der einfachen Mannigfaltigkeit. 311 



(VW) = a{x — x'^yiöhix — xy-'' H )p-\ 



— h (x — xyiQa{x — x'Y'-^ H )p-\ 



= ((tf — Q)ah{x - xy+"-' H )p, 



d. h. eine infinitesimale Transformation von gerade q -^ 6 — 1*" Ord- 

 nung und nicht etwa bloss Null, sobald p + <? ist. Von dieser Be- 

 merkung werden wir sogleich Gebrauch machen. 



Zunächst kann der Punkt {x^) so gewählt werden, dass er nicht 

 bei allen Uif invariant ist, d. h. dass sich nicht alle U,f für x = x^ 

 auf Null reducieren. Sei (x^) etwa bei ÜJ nicht invariant. Dann ist 

 aio =f= 0. Da es auf einen Zahlenfactor nicht ankommt, kann U^ f 

 durch aio dividiert werden. So ergiebt sich dann die infinitesimale 

 Transformation 



VJ^{l + a{x-x")-{ )p. 



Existiert nun noch eine von VJ unabhängige infinitesimale Transfor- 

 mation der Gruppe, die mit einem Gliede 0*«' Ordnung anfängt, so 

 kann man aus ihr und VJ eine von VJ unabhängige infinitesimale 

 Transformation linear ableiten, die von erster Ordnung ist: 



V,f=i{x-x')-\----)p. 



Wenn dagegen keine solche mehr vorhanden ist, so könnte doch eine 

 von erster Ordnung da sein. Diese würden wir alsdann als V^f be- 

 nutzen. Ist auch keine von erster Ordnung da, so doch eine von etwa 

 o*" Ordnung (^ > 1), die mit Uf bezeichnet sei. Alsdann gehört 

 nach dem Hauptsatze auch (V^U) der Gruppe an. Sie ist aber nach 

 der vorausgeschickten Bemerkung von (p — l)*'''" Ordnung. Diese giebt 

 mit VJ durch Klammeroperation eine von {q — 2)*" Ordnung u. s. w. 

 Schliesslich kommen wir also doch zu einer von erster Ordnung, die 

 wir als V^f verwerten. Genau so sieht man ein, dass auch eine in- 

 finitesimale Transformation der Gruppe von zweiter Ordnung vorhanden 

 ist u. s. w. So finden wir, dass die Gruppe sicher r infinitesimale 

 Transformationen von der Form 



Vof={l -\-a{x — x')-\----)p, 



VJ={{x-x') + ■■■)!>. 



r,f={ix-xy-\----)p, 



K-if^{(x — x,Y--' + --)p 



enthält. Sie sind von einander unabhängig, denn wenn 



c,VJ+c,V,f+---i-Cr..Vr-.f=-0 



wäre, so würde folgen, dass 



