312 Kapitel 12, § 4. 



c, + (c, + ac^)(x — x') + (C2 + ■ •)i^ — xy -\ 



also zunächst c^ = 0, daher Cj = 0, folglich C2 = u. s. w. wäre. 



Mithin ist jede infinitesimale Transformation unserer Gruppe linear 

 aus VJ, Fj/". . . Vr-if ableitbar. Offenbar lassen sich aus ihnen auch 

 keine von höherer als (r — 1)*«' Ordnung linear ableiten. Folglich 

 sind die infinitesimalen Transformationen der Gruppe von höchstens 

 (r — 1)*^' Ordnung. 



Nun gehören Vr-^f und Vr-xf der Gruppe an, dasselbe gilt von 

 ihrem nicht verschwindenden Klammerausdruck, der aber von der Ord- 

 nung (r — 2) + (>• — 1) _ 1 ist. Also ist: 



(r_-2) + (r— 1)_ 1 <r 

 oder 



r <4. 

 Somit kommen nur die Werte r = 1, 2, 3 in Betracht. 



Satz 14: Eine endliche continuierliche Gruppe der Geraden mit 

 paarweis inversen Transformationen enthält höchstens drei von einander 

 unahhängige infinitesimale Transformationen, 



Dass die Maximalzahl r = 3 wirklich vorkommt, lehrt die drei- 

 gliedrige projective Gruppe der Geraden (siehe Kap. 5). 



^SSppeT ^^* zunächst r= 1, so liegt nur eine infinitesimale Transforma- 

 tion vor: 



UfEEE^(x)p. 



Führen wir f ^~ als neues x ein, so kommt einfach die Gruppe: 



Maximal- 

 zahl /- = 3. 



P 



gSgo ^^^ "^'^ Gruppe zweigliedrig, UJ, UJ, so darf nach Hatz 10 des 



Gruppen. § 2 gesctzt Werden: entweder 



oder 



Im ersteren Fall dürfen wir wie vorher 



UjEEEp 



annehmen. Dann kommt, wenn 

 ist: 



