Die Gruppen der einfachen Mannigfaltigkeit. 313 



d. h. I ist eine Constante. Dann aber sind U^f und ZJ^/" nicht von 

 einander unabhängig. Dieser Fall kommt also nicht in Betracht. Es 

 ist vielmehr anzunehmen : 



Zunächst kann 



angenommen werden. Dann ergiebt sich für 



U,f=lp 

 die Bedingung 



-.- = \ , also i =^ X -\- Const., 



sodass ^/g/"^ ä;^ + Const. jj ist. Nun kann U.J' — Const. UJ' als 

 K/' benutzt werden, sodass sich der Typus ergiebt: 



p xp 



Ist die Gruppe dreigliedrig: ü^f, U^f, ü^f, so können wir voraus ^^''''i-^ 

 setzen, TJif sei von nuUter, JJ^f von erster und U^f von zweiter Ord- ciruppeu. 

 nung. Dann ist {U^U.2) von nullter, (JJ^IJ^ von erster und {U^U^) 

 von zweiter Ordnung nach der oben gemachten Bemerkung. Dem- 

 nach ist : 



{U,U,) = aUJ, 



(U,U^ = hUJ+cU,f, 

 {U,U,) = eUJ-\-gU,f-{-hUJ. 



Hierin bedeuten a, h, c, e, g, h Constanten. Wir sehen, dass U^f und 

 ZJg/" für sich eine zweigliedrige Gruppe erzeugen, die bei passender 

 Wahl der Veränderlichen x auf die obige Form p, xp gebracht wer- 

 den kann : 



UJ = p, U^f=xp. 

 Sei nun 



so kommt: 



{U^Ü.^='^p = hp-\- cxp, 



(U^U,) = {x^ — i)p = ep + gxp + Ji^p, 



^£ = e + ^^ + (/^+l)| 

 wird. Hiernach muss | die Form haben : 



sodass 



