Vorbemerkungen. 315 



Kapitel 13. 

 Bestiminuug der imprimitiven Onippcii der Ebene. 



Wir greifen nunmehr das Problem an, alle endlichen conünuier- 

 Ikhen Gruppen der Ebene mit paarweis inversen Transformationen zu 

 lestimmen. Dabei ist es zweckmässig, die Bestimmung der imprimi- 

 tiven von der der primitiven Gruppen zu trennen, weil diese beiden 

 Klassen verschiedene Behandlungsweisen erfordern. Zunächst bestimmen 

 wir alle imprimitiven Gruppen. 



§ 1. Vorbemerkungen. 



Als wir im 11. Kapitel alle projectiven Gruppen der Ebene be- 

 stimmten und auf typische Formen brachten, bedienten wir uns zweier 

 Hülfsmittel zur Vereinfachung der Gruppen. Einerseits suchten wir 

 durch Einführung passender linearer Cojnbinationen der infinitesimalen 

 Transformationen der Gruppen ihre Zusammensetzung, andererseits 

 duich Einführung neuer Veränderlicher vermöge passender projectiver 

 Transformationen die Gestalt ihrer infinitesimalen Transformationen 

 möo-lichst zu vereinfachen. Das erstere Mittel werden wir ebenso bei 

 der Bestimmung aller Gruppen der Ebene anwenden, das zweite da- 

 gegen mit einer Abänderung. Wir werden nämlich jetzt, wo es auf 

 projective Eigenschaften niclit ankommt, zivei solche Gruppen als gleich- 

 berechtigt bezeichnen, die vermöge irgend tvelcher Transformation in ein- 

 ander überführbar sind, indem wir Satz 4, § 4 des 6. Kap., benutzen. 

 Demnach werden wir die infinitesimalen Transformationen dadurch zu 

 vereinfachen suchen, dass wir nicht gerade durch projective, sondern 

 durch irgendwelche passende Transformation neue Veränderliche ein- 

 führen. Alsdann rechnen wir alle Gruppen zu demselben Typus, die 

 dadurch in einander verwandelt werden können. 



Wir beginnen mit der Bestimmung der imprimitiven Gruppen. Einezurjsestim 

 r-gliedrige derartige Gruppe TJJ...'ürf lässt nach §3 des 8. Kap. imprhmtiy. 

 eine Schar von oo^ Curven 



(p{x, y) = Const. 



j invariant, indem sie diese Curven in einander überführt. Benutzen 

 i wir fpix, y) als neues x und eine davon unabhängige Function als 

 ij neues y, so folgt: Wir können annehmen, dass die gesuchte Gruppe ii^^'j^|j^j^\° 



l UJ... ürf die Geraden ^Bonst. 



X = Const. 



