316 Kapitel 13, §§ 1, 2. 



unter einander transformiert, d. h. dass mit x = Const. auch das In- 

 crement von x constant ist, dass also in Uif. . . Urf die Coefficienten 

 von p nur von x abhängen. Die Uf haben dann die Form: 



(1) Uif= h{x)p + rii(x, y)q. 



Da die Uf eine Gruppe erzeugen, so ist nach dem Hauptsatz 



r 



(2) iUiU,) = ^sCasW. 



1 

 Es kommt aber nach (1): 



(^'f^') = (fc'^-«'Ä> + (•••)«, 



d. h. der Coefficient von p in (UiUk) ist derselbe wie der von p in 

 der Combination von 



^i(x)p und ^k(x)p 

 allein. Setzen wir 



X,fEEEl{x)p = 1, 2..r), 

 so sehen wir also, dass nach (2) auch 



r 



1 



ist. Die Xif. . . Xrf transformieren nur x und erzeugen nach dieser 

 Formel und nach Satz 13, § 4 des vorigen Kap., eine Gruppe der ein- 

 fachen Mannigfaltigkeit x. 



Die Xif geben an, wie die Geraden x == Const. bei den Uif unter 

 einander transformiert werden. Sie erzeugen diejenige Gruppe in x, '■ 

 vermöge deren die Gruppe üif. . . Urf die Geraden x = Const. in ein- ] 

 ander überführt. Wir nennen die Xif die verkürzten infinitesimalen : 

 ^Gru^'^'e^ Transformationen und ihre Gruppe die verkürzte Gruppe. 



Nach Theorem 27, § 4 des 12. Kap., ist diese verkürzte Gruppe 

 Temmg höchstens dreigliedrig. Hierdurch bietet sich eine naturgemässe Teilung | 

 Problems, unscrcs Problems in vier einzelne dar, je nachdem x nullgliedrig, ein- 

 gliedrig, zwei- oder dreigliedrig transformiert wird. 



§ 2. Erster Fall: Die Curvenschar wird nullgliedrig 

 transformiert. 



Wenn wir annehmen, dass die verkürzte Gruppe nullgliedrig sei, 

 so heisst dies : Jede der Geraden x = Const. bleibt für sich invariant, 

 ihre Punkte werden unter sich vertauscht. Dann sind alle Z,/e:^0, 

 d. h. alle ^,-^0, sodass die gesuchte Gruppe zunächst die Form hat: 



