Erster Fall: Die Curvenschar wird nullgliedrig transformiert. 317 



C/f/'= rii{x, y)q {i=\, 2 .. r\ 

 Geben wir hierin x einen bestimmten Wert, so erzeugen die Uif immer resthaiton 



. . einer 



noch eine Gruppe. Einmal folgt dies begrifflich daraus, dass eine Geraden. 

 solche Annahme x = x^ besagt, dass nur die Punkte einer bestimmten 

 der invarianten Geraden ins Auge gefasst werden sollen. Andererseits 

 aber erkennt man, da jetzt 



ist, dass die (JJiTJk) genau ebenso zu bilden sind, ob nun x allgemein 

 oder speciell angenommen wird, sodass auch für x = x^ 



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ist. Der Index soll hierin die Substitution x = x^ andeuten. 



Aber die Gruppe U^^f. . . IJr^f der Punkte (tf) der Geraden x = x^ 

 braucht nicht auch r-gliedrig zu sein, vielmehr können zwischen 

 U^^f. . . ür^f Relationen mit constanten Coefficienten bestehen, indem 

 die Coefficienten ja x^ enthalten können. Ja wir wissen, dass die 

 Gruppe U^^f. . . UJ^f nach Theorem 27 in § 4 des letzten Kap. höch- 

 stens dreigliedrig ist, da sie nur die einfache Mannigfaltigkeit y trans- 

 formiert. Also besteht zwischen je vieren der UPf sicher eine Rela- 

 tion mit nur von x^ abhängigen Coefficienten, demnach auch zwischen 

 je vieren der rii^x^, y) : 



(P!(x^)riiiA y) + (pj(oc')vj{A y) + 9'^.(^')^.(r^^ y) + cpi(x^)ni{A y)=o. 



Da dies für jede Gerade (x^) gilt, so folgt, dass zwischen je vieren 

 der r}(x, y) sicher eine Relation mit nur von x abhängigen Coefficien- 

 ten besteht: 



(p,(x)r}i{x, y) + (pj{x)rjj{x, y) + (p,{x)riu{x, y) + (pi{x)rii{x, y) EEE 0. 



Nun können aber solche Relationen schon zwischen je zweien oder 

 wenigstens schon zwischen je dreien der y bestehen. Somit liegen 

 drei Fälle vor, die wir auch so charakterisieren können : Die Gruppe Drei Fäiie. 

 TJ^f . ■ . TJr^f auf der Geraden (aP) ist eingliedrig, zweigliedrig oder 

 dreigliedrig bei beliebiger, aber bestimmter Wahl von x^. Wäre sie 

 nullgliedrig, so würden alle Punkte der Ebene in Ruhe bleiben. 



I. Die Gruppe ü-^f. . . U,^f sei eingliedrig. Alsdann ist also etwa : Erster Faii. 

 ; während ?ji e|= ist, sodass die gesuchte Gruppe die Form annimmt: 



