318 Kapitel 13, § 2. 



Aber rj^q kann dadurch, dass man als neues y eine Function benutzt, 

 deren Differentialquotient nach y gleich — ist, auf die Form q ge- 

 bracht werden. Dann haben wir 



q (p.,{x)q cp^{x)q .. (pr{x)q 



In der That ist dies eine Grupp^ denn die Klarameroperationen geben 

 stets Null. 



Zweiter n J)ie Crruppe U ^ f . . . UJ^ f SBi Zweigliedrig^ sodass zwischen je 



dreien der ri eine Relation besteht. Hier können wir setzen : 



(fc = 3, 4 . . r), 

 sodass 



(3) UJ^^ri.q, U,f=rj,q, U,f-^ <p,UJ -^ tl^,U,f (Z: = 3, 4 . . r) 



ist. Dabei darf keine Relation zwischen rj^ und rj^ allein bestehen, 

 d. h, es muss i^i • % <^ie Grösse y wirklich enthalten, denn sonst läge 

 die vorige Annahme vor. Nach dem Hauptsatze ist (JJilJ^ linear aus 

 C/i/"...?/^/' ableitbar. Hier kommt also nach (3) eine solche Gleichung: 



Wären «^ und Og beide Null, so käme 



d. h. % : 1^2 wäre frei von y. Wir dürfen also etwa o, ='e annehmen. 

 Betrachten wir nun die beiden infinitesimalen Transformationen 



VJ= L\f+ -4^ U,f, VJ= ^ \~, U.,f. 



Sie gehören natürlich im allgemeinen der Gruppe nicht an, denn sie 

 sind nicht mit constanten Coefficieuten aus UJ. . . Urf ableitbar. Aber 

 wir werden doch aus ihnen Nutzen ziehen. Es ist nämlich I 



Wir können durch Einführung einer passenden von y nicht freien | 

 Function von x und y als neues y erreichen, dass 



rj~q . ; 



wird. Alsdann folgt aus (V^V^) ^^ VJ ohne Mühe, dass VJ die 

 Form hat 



v,f={y-\-x(^))q- 



Benutzen wir endlich y -{- zi^) ^^^ neues y, so wird 



