Erster Fall: Die Curvenschar wird nuUgliedrig transformiert. 



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Uif= cpiq + ipiyq -f iiy^q 



(pi^ ipi und %i als homogene Punktcoordinaten in der Ebene auf, sodass 

 jeder infinitesimalen Transformation der Gruppe ein Punkt der Ebene ent- 

 spricht, während umgekehrt zu einem Punkte der Ebene allerdings un- 

 endlich viele infinitesimale Transformationen gehören können, von denen 

 sich aber je zwei nur um einen Factor, der von x abhängt, unterscheiden 

 können. Die Combinationsformel (4) sagt dann aus, dass dem Klammer- 

 ausdruck {UiUk) als Bildpunkt der Pol der Geraden zugehört, welche die 

 Bildpunkte von Uif und Ukf verbindet, und zwar hinsichtlich eines Kegel- 

 schnittes mit der Gleichung in homogenen Coordinaten : 



4qp^_^2 



0. 



'^mi. 



UM.) 



Alsdann ist der Bildpunkt von (UiUj) der Pol der Geraden, welche die 



Bildpunkte von Uif und ZTjf verbindet. Die 



Verbindende der Bildpunkte von {TJiTJk) und 



{UiUj) ist demnach die Polare von Ujf^ d. h. 



der Bildpunkt von {{U,Ui) {UiUj)) ist der 



von Uif selbst. (Fig. 32.) Mithin kann sich 



( ( Ui Uk) ( Ui Uj) ) nur um einen von x allein 



abhängigen Factor von Uif unterscheiden: 



{_{UiU,){UiU>j)^<o{x)Uif 



Oben fanden wir rechnerisch, dass (o{x) gleich Fig. 32. 



2Jikj ist. 



Da alle durch Klammeroperation hervorgehenden infinitesimalen 

 Transformationen nach dem Hauptsatze ebenfalls der Gruppe an- 

 gehören, so gehört nach (5) auch z/a./ Utf der Gruppe an. Indem wir 

 sie anstatt Uif benutzen und die obige Betrachtung wiederholen, er- 

 halten wir die infinitesimale Transformation der Gruppe: 



{{^i.jUi, u,)(^i,jUi, Uj))^2zj;[jUif 



u. s. w. Demnach gehören 



^njUif, ^hjüif, ^liVif... 



sämtlich der Gruppe an. Da die Gruppe nur eine endliche Anzahl 

 von einander unabhängiger infinitesimaler Transformationen besitzt, 

 so folgt, dass /ii},j eine Constante sein muss — analog wie im Falle II 

 die Grösse «i. Daraus ergiebt sich nun, dass die Gruppe gerade 

 dreigliedrig ist. Denn wenn wenigstens vier infinitesimale Transfor- 

 mationen ; 



C/;/= fpiq + i\>i\j(i + liy^q 



{i = 1, 2, 3, 4) 



Yorliegen, so kommt: 



Lie, Coutinuierliche Gruppen. 21 



