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= 



oder 



AuUJ+ ^sMf+ ^^,iV-\- ^n,üj=o. 



Da aber die z/ Constanten sind, so würden Uif. . . UJ" hiernach nicht 

 von einander unabhängig sein, wenn nicht jedes z:/ ^ wäre. Wäre 

 aber jedes /likj ^ 0, so würde schon zwischen Uif, Ukf, Ujf eine Rela- 

 tion bestehen, deren Coefficienten Functionen von x sind. Dies aber 

 würde zur Annahme des Falles II führen, ist also ausgeschlossen. 

 Somit sind je vier infinitesimale Transformationen der Gruppe von 

 einander abhängig; die Gruppe ist deshalb höchstens dreigliedrig. 

 Wäre sie weniger-gliedrig, so würde Fall II oder gar Fall I vorliegen. 

 Sie ist also gerade dreigliedrig. 



Sicher besitzt sie zweigliedrige Untergruppen. Denn alle Trans- 

 formationen der Gruppe, die einen bestimmten Punkt (x^, ip) der 

 Ebene in Ruhe lassen, bilden offenbar für sich eine Gruppe, da die 

 Aufeinanderfolge zweier solcher Transformationen auch den Punkt in- 

 variant lässt. Da aber x bei der gesuchten Gruppe überhaupt nicht 

 transformiert wird, so giebt das Festhalten eines Punktes {aP, y^) nur 

 eine Bedingung: Es giebt also wenigstens eine zweigliedrige Unter- 

 gruppe unserer gesuchten Gruppe. In der That haben wir, um aus 

 drei von einander unabhängigen infinitesimalen Transformationen der 

 gesuchten Gruppe 



üif= (pi{x)q -f ^i{x)yci + ii(x)y^ci 

 {i = 1, 2, 3) 



die infinitesimalen Transformationen dieser Untergruppe abzuleiten, 

 nur in 



c,U,f + c,ü,f -^ c,U,f 



die Constanten c^, Cg, Cg so zu wählen, dass 



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^ 



wird. 



Es mögen also etwa gerade U^f und C^/" diese zweigliedrige 

 Untergruppe erzeugen, was keine Beschränkung der Allgemeinheit ist. 

 Dieselbe gehört einem der schon unter I oder II gefundenen Typen 

 an. Wie werden sogleich ermitteln, welchem von beiden. Wäre schon 

 eine Relation 



(o,{x)UJ-}-<o,{x)U,f=0 



